2012 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）

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2012 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 已知集合

A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {(x, y) ∣ x \in A, y \in A, x - y \in A}

, 则 B 中所含元素的个数为（）

A.

B.

C.

D.

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2. 将 2 名教师, 4 名学生分成 2 个小组, 分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动, 每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成, 不同的安排方案共有（　　）

A.

12 种

B.

10 种

C.

9 种

D.

18种

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3. 下面是关于复数

z = \frac{2}{- 1 + i}

的四个命题: 其中的真命题为（　　）

p_{1} : | z | = 2

p_{2} : z^{2} = 2 i

p_{3}

z

的共轭复数为

1 + i

p_{4}

z

的虚部为

- 1 .

A.

p_{2}, p_{3}

B.

p_{1}, p_{2}

C.

p_{2}, p_{4}

D.

p_{3}, p_{4}

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4. 设

F_{1} 、 F_{2}

是椭圆

E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左、右焦点,

P

为直线

x =

\frac{3 a}{2}

上一点,

△ F_{2} P F_{1}

是底角为

30^{\circ}

的等腰三角形, 则

E

的离心率为（　　）

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{2}{3}

C.

\frac{3}{4}

D.

\frac{4}{5}

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5. 已知

{a_{n}}

为等比数列,

a_{4} + a_{7} = 2, a_{5} a_{6} = - 8

, 则

a_{1} + a_{10} =

（　　）

A.

B.

C.

- 5

D.

- 7

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6. 如果执行右边的程序框图, 输入正整数

N (N ⩾ 2)

和实数

a_{1}, a_{2}, \dots

a_{n}

, 输出

A, B

, 则（　　）

A.

A + B

为

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}

的和

B.

\frac{A + B}{2}

为

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}

的算术平均数

C.

A

和

B

分别是

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}

中最大的数和最小的数

D.

A

和

B

分别是

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}

中最小的数和最大的数

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7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（　　）

A.

B.

C.

D.

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8. 等轴双曲线

C

的中心在原点, 焦点在

x

轴上,

C

与抛物线

y^{2} = 16 x

的准线交于点

A

和点

B, | A B | = 4 \sqrt{3}

, 则

C

的实轴长为（　　）

A.

\sqrt{2}

B.

2 \sqrt{2}

C.

D.

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9. 已知

ω > 0

, 函数

f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4})

在区间

[\frac{π}{2}, π]

上单调递减, 则实数

ω

的取值范围是（　　）

A.

[\frac{1}{2}, \frac{5}{4}]

B.

[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}]

C.

(0, \frac{1}{2}]

D.

(0, 2]

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10. 已知函数

f (x) = \frac{1}{\ln (x + 1) - x}

, 则

y = f (x)

的图象大致为 ( )

A.

B.

C.

D.

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11. 已知三棱雉 S-

A B C

的所有顶点都在球

O

的表面上,

△ A B C

是边长为 1 的正三角形,

S C

为球

O

的直径, 且

S C = 2

, 则此三棱雉的体积为 ( )

A.

\frac{1}{4}

B.

\frac{\sqrt{2}}{4}

C.

\frac{\sqrt{2}}{6}

D.

\frac{\sqrt{2}}{12}

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12. 设点

P

在曲线

y = \frac{1}{2} e^{x}

上, 点

Q

在曲线

y = \ln (2 x)

上, 则

| P Q |

最小值为 ( )

A.

1 - \ln 2

B.

\sqrt{2} (1 - \ln 2)

C.

1 + \ln 2

D.

\sqrt{2} (1 + \ln 2)

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 已知向量

\vec{a}, \vec{b}

大角为

45^{\circ}

, 且

| \vec{a} | = 1, | 2 \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{10}

, 则

| \vec{b} | =

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14. 设

x, y

满足约束条件:

{\begin{cases} x ⩾ 0, y ⩾ 0 \\ x - y ⩾ - 1 \\ x + y ⩽ 3 \end{cases}

; 则

z = x - 2 y

的取值范围为

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15. 某个部件由三个元件按下图方式连接而成, 元件 1 或元件 2 正常工作, 且元件 3 正常工作, 则部件正常工作, 设三个电子元件的使用寿命（单位：小时) 均服从正态分布

N (1000, 50^{2})

, 且各个元件能否正常相互独立, 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为

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16. 数列

{a_{n}}

满足

a_{n + 1} + (- 1)^{n} a_{n} = 2 n - 1

, 则

{a_{n}}

的前 60 项和为

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三、解答题（共 8 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 已知

a, b, c

分别为

△ A B C

三个内角

A, B, C

的对边,

a \cos C + \sqrt{3} a \sin C - b - c = 0

(1) 求

A

;
（2）若

a = 2, △ A B C

的面积为

\sqrt{3}

; 求

b, c

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18. 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花, 然后以每枝 10 元的价格出售, 如果当天卖不完, 剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（1）若花店一天购进 16 枝玫瑰花, 求当天的利润 y（单位: 元）关于当天需求量

n

(单位: 枝,

n \in N

) 的函数解析式.
（2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表:

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（i）若花店一天购进 16 枝玫瑰花,

X

表示当天的利润（单位：元）, 求

X

的分布列、数学期望及方差;
（ii）若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花, 你认为应购进 16 枝还是 17 枝
? 请说明理由.

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19. 如图, 直三棱柱

A B C - A_{1} B_{1} C_{1}

中,

A C = B C = \frac{1}{2} A A_{1}, D

是棱

A A_{1}

的中点,

D C_{1} ⊥ B D

(1) 证明:

D C_{1} ⊥ B C

;
(2) 求二面角

A_{1} - B D - C_{1}

的大小.

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20. 设抛物线

C : x^{2} = 2 p y (p > 0)

的焦点为

F

, 准线为

I, A \in C

, 已知以

F

为圆心,

F A

为半径的圆

F

交 I 于

B, D

两点;
(1) 若

∠ B F D = 90^{\circ}, △ A B D

的面积为

4 \sqrt{2}

, 求

p

的值及圆

F

的方程;
(2) 若

A, B, F

三点在同一直线

m

上, 直线

n

与

m

平行, 且

n

与

C

只有一个公共点, 求坐标原点到

m, n

距离的比值.

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21. 已知函数

f (x)

满足

f (x) = f^{'}

(1)

e^{x - 1} - f (0) x + \frac{1}{2} x^{2}

;
（1）求

f (x)

的解析式及单调区间;
(2) 若

f (x) ⩾ \frac{1}{2} x^{2} + a x + b

, 求

(a + 1) b

的最大值.

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22. 如图,

D, E

分别为

△ A B C

边

A B, A C

的中点, 直线

D E

交

△ A B C

的外接圆于

F, G

两点, 若

C F / / A B

, 证明:
(1)

C D = B C

;
(2)

△ B C D \sim △ G B D

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23. 已知曲线

C_{1}

的参数方程是

{\begin{cases} x = 2 \cos ϕ \\ y = 3 \sin ϕ \end{cases}

(

ϕ

为参数）, 以坐标原点为极点,

x

轴的正半轴为极轴建立坐标系, 曲线

C_{2}

的坐标系方程是

ρ = 2

, 正方形

A B C D

的顶
点都在

C_{2}

上, 且

A, B, C, D

依逆时针次序排列, 点

A

的极坐标为

(2, \frac{π}{3})

(1) 求点

A, B, C, D

的直角坐标;
（2）设

P

为

C_{1}

上任意一点, 求

| P A |^{2} + | P B |^{2} + | P C |^{2} + | P D |^{2}

的取值范围.

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24. 已知函数

f (x) = | x + a | + | x - 2 |

(1)当

a = - 3

时, 求不等式

f (x) ⩾ 3

的解集;
(2)

f (x) ⩽ | x - 4 |

若的解集包含

[1, 2]

, 求

a

的取值范围.

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