设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 均为 $n$ 维列向量， $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，下列选项正确的是（ ）．

已知 $n$ 维向量组

$$
\text { ( I ): } \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s, \quad \text { ( II ): } \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t \text {, }
$$

且 $\operatorname{rank}\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right)=\operatorname{rank}\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right)=r$ ，则（ ）。

设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 是 $n \times m$ 矩阵，则线性方程组 $(\boldsymbol{A B}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}(\quad)$ ．

（南开大学，2005年）设齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_2+a x_3+b x_4=0 \\
-x_1+c x_3+d x_4=0 \\
a x_1+c x_2-e x_4=0 \\
b x_1+d x_2-e x_3=0
\end{array}\right.
$$
的一般解以 $x_3, x_4$ 为自由未知量．
（1）求 $a, b, c, d, e$ 满足的条件；
（2）求齐次线性方程组的基础解系．

（中国科学院，2005 年）设四元齐次线性方程组（I）为 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_3=0, \\ x_2-x_4=0 .\end{array}\right.$ 又已知某齐次线性方程组（II）的通解为 $k_1(0,1,1,0)+k_2(-1,2,2,1)$ ．
（1）求线性方程组（I）的基础解系；
（2）问线性方程组（I）和（II）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解，若没有，则说明理由．

（华南理工大学，2015 年）已知齐次线性方程组
（ I ）：$\left\{\begin{array}{r}x_1+2 x_2+3 x_3=0, \\ 2 x_1+3 x_2+5 x_3=0, \\ x_1+x_2+a x_3=0\end{array}\right.$（和（II）：$\left\{\begin{aligned} x_1+b x_2+c x_3=0, & \\ 2 x_1+b^2 x_2+(c+1) x_3=0 & \end{aligned}\right.$
同解，求 $a, b, c$ 的值．

（北京交通大学，2005 年）已知线性方程组
（ I ）$\left\{\begin{array}{l}a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1,2 n} x_{2 n}=0, \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2,2 n} x_{2 n}=0, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n, 2 n} x_{2 n}=0\end{array}\right.$
的一个基础解系为

$$
\left(b_{11}, b_{12}, \cdots, b_{1,2 n}\right)^{\mathrm{T}},\left(b_{21}, b_{22}, \cdots, b_{2,2 n}\right)^{\mathrm{T}}, \cdots,\left(b_{n 1}, b_{n 2}, \cdots, b_{n, 2 n}\right)^{\mathrm{T}} .
$$


求线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
b_{11} y_1+b_{12} y_2+\cdots+b_{1,2 n} y_{2 n}=0 \\
b_{21} y_1+b_{22} y_2+\cdots+b_{2,2 n} y_{2 n}=0 \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
b_{n 1} y_1+b_{n 2} y_2+\cdots+b_{n, 2 n} y_{2 n}=0
\end{array}\right.
$$


的通解，并说明理由．

（北京大学，1997 年；武汉大学，2009 年；华南理工大学，2011 年）设 $A, B$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵， $\boldsymbol{X}$ 是末知量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 所构成的 $n \times 1$ 矩阵。已知齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 分别有 $l, m$ 个线性无关的解向量，这里 $l \geqslant 0, m \geqslant 0$ ．证明：
（1）$(\boldsymbol{A B}) \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 至少有 $\max (l, m)$ 个线性无关的解向量；
（2）如果 $l+m>n$ ，那么 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 必有非零解；
（3）如果 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 无公共的非零解向量，且 $l+m=n$ ，那么 $P^n$ 中任一向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 都可唯一地表示成 $\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\gamma}$ ，这里 $\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 分别是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的解向量．

（北京师范大学，2006 年）当 $a, b$ 取何值时，线性方程组

$$
\begin{cases}a x_1+(b+1) x_2+2 x_3 & =1 \\ a x_1+(2 b+1) x_2+3 x_3 & =1 \\ a x_1+(b+1) x_2+(b+4) x_3 & =2 b+1\end{cases}
$$


有解？并求解．

（西南大学，2007 年）问 $\lambda$ 为何值时，线性方程组

$$
\left\{\begin{aligned}
\lambda x_1+x_2+x_3+x_4 & =1, \\
x_1+\lambda x_2+x_3+x_4 & =\lambda, \\
x_1+x_2+\lambda x_3+x_4 & =\lambda^2, \\
x_1+x_2+x_3+\lambda x_4 & =\lambda^3
\end{aligned}\right.
$$


没有解？有唯一解？有无穷多解？

（南京大学，2011 年）设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right)$ 的前 $n-1$ 个列向量线性相关，后 $n-1$ 个列向量线性无关， $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\boldsymbol{\alpha}_n$ ．
（1）证明：方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\beta}$ 必有无穷多解；
（2）求方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解．

(哈尔滨工业大学，2006 年）设向量 $\boldsymbol{\beta}_1=4 \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4, \boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{\alpha}_1+4 \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4$ ， $\boldsymbol{\beta}_3=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+4 \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4, \boldsymbol{\beta}_4=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+4 \boldsymbol{\alpha}_4$ ．证明：向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3, \boldsymbol{\beta}_4$ 线性无关的充分必要条件是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性无关．

（北京大学，2010 年）设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关，并且可由向量组 $\boldsymbol{\beta}_1$ ， $\boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性表示．证明：必存在某个向量 $\boldsymbol{\beta}_j(j=1,2, \cdots, t)$ 使得向量组 $\boldsymbol{\beta}_j, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关．

重庆大学，2006 年）设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性无关，向量 $\boldsymbol{\beta}_1$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1$ ， $\boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示，而向量 $\boldsymbol{\beta}_2$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示．证明：对于任意常数 $l$ ，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m, l \boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2$ 总线性无关．

（北京航空航天大学，2004 年）设向量组 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right\},\left\{\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m\right\}$ ， $\left\{\boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_m\right\}$ 的秩分别为 $s_1, s_2, s_3$ ，其中 $\boldsymbol{\gamma}_i=\boldsymbol{\alpha}_i-\boldsymbol{\beta}_i, i=1,2, \cdots, m$ ．证明：$s_1 \leqslant s_2+s_3, s_2 \leqslant s_1+ s_3, s_3 \leqslant s_1+s_2$ ．

（武汉大学，1994 年）试利用线性方程组理论证明：一元 $n$ 次多项式不能有多于 $n$ 个互异的根．

（华中科技大学，2005 年）解线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+a x_2+a^2 x_3=a^3, \\
x_1+b x_2+b^2 x_3=b^3, \\
x_1+c x_2+c^2 x_3=c^3,
\end{array}\right.
$$
其中 $a, b, c$ 是互不相等的常数．

（重庆大学，2005 年）设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵， $\boldsymbol{A}^*=\left(A_{i j}\right)$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵且 $A_{11} \neq 0$ ，又设 $\boldsymbol{b} \neq \mathbf{0}$ 为 $n$ 维列向量．证明： $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多个解 $\Leftrightarrow \boldsymbol{b}$ 是 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的解．

（浙江大学，2001 年）设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 实矩阵， $\boldsymbol{b}$ 是 $m \times 1$ 矩阵．
（1）证明： $\operatorname{rank}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right)=\operatorname{rank} \boldsymbol{A}$ ；（苏州大学，2012年）
（2）设 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^{\mathrm{T}}$ ，证明：线性方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{b}$ 有解．（华东师范大学，2014 年）