（北京大学，1997 年；武汉大学，2009 年；华南理工大学，2011 年）设 $A, B$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵， $\boldsymbol{X}$ 是末知量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 所构成的 $n \times 1$ 矩阵。已知齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 分别有 $l, m$ 个线性无关的解向量，这里 $l \geqslant 0, m \geqslant 0$ ．证明：
（1）$(\boldsymbol{A B}) \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 至少有 $\max (l, m)$ 个线性无关的解向量；
（2）如果 $l+m>n$ ，那么 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 必有非零解；
（3）如果 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 无公共的非零解向量，且 $l+m=n$ ，那么 $P^n$ 中任一向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 都可唯一地表示成 $\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\gamma}$ ，这里 $\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 分别是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的解向量．