（浙江大学，2001 年）设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 实矩阵， $\boldsymbol{b}$ 是 $m \times 1$ 矩阵．
（1）证明： $\operatorname{rank}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right)=\operatorname{rank} \boldsymbol{A}$ ；（苏州大学，2012年）
（2）设 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^{\mathrm{T}}$ ，证明：线性方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{b}$ 有解．（华东师范大学，2014 年）