（南京大学，2011 年）设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right)$ 的前 $n-1$ 个列向量线性相关，后 $n-1$ 个列向量线性无关， $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\boldsymbol{\alpha}_n$ ．
（1）证明：方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\beta}$ 必有无穷多解；
（2）求方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解．