单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
已知向量 $a =(1,1,0), b =(-1,0,2)$ ，且 $k a + b$ 与 $2 a - b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{7}{5}$
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $\frac{5}{3}$
$\text{D.}$ 1
空间四点 $A(2,3,6), B(4,3,2), C(0,0,1), D(2,0,2)$ 的位置关系为（ ）
$\text{A.}$ 共线
$\text{B.}$ 共面
$\text{C.}$ 不共面
$\text{D.}$ 无法确定
已知向量 $m$ 是直线 $l$ 的方向向量，向量 $n$ 是平面 $\alpha$ 的法向量，则＂ $m \perp n$＂是＂$l / / \alpha$＂的（）
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分又不必要条件
四棱柱 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的底面 $A B C D$ 是边长为 1 的菱形，侧棱长为 2 ，且 $\angle C_1 C B$ $=\angle C_1 C D=\angle B C D=60^{\circ}$ ，则线段 $A_1 C$ 的长度是（）
$\text{A.}$ $\sqrt{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{34}}{2}$
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ $\sqrt{11}$
如图所示，在平行六面体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$M$ 为 $A_1 C_1$ 与 $B_1 D_1$ 的交点．若 $\overrightarrow{A B}= a , \overrightarrow{A D}= b , \overrightarrow{A A}{ }_1= c$ ，则下列向量中与 $\overrightarrow{B M}$ 相等的向量是（ ）
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2} a+\frac{1}{2} b+c$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} a+\frac{1}{2} b+c$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2} a-\frac{1}{2} b+c$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} a-\frac{1}{2} b+c$
如图，正方形 $A B C D$ 与矩形 $A C E F$ 所在平面互相垂直，$A B=\sqrt{2}, A F=1, M$ 在 $E F$ 上，且 $A M / /$ 平面 $B D E$ ．则 $M$ 点的坐标为（ ）
$\text{A.}$ $(1,1,1)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{3}, 1\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}, 1\right)$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
如图所示，$M$ 是四面体 $O A B C$ 的棱 $B C$ 的中点，点 $N$ 在线段 $O M$ 上，点 $P$ 在线段 $A N$ 上，且 $A P=3 P N, \overrightarrow{O N}$ $=\frac{2}{3} \overrightarrow{O M}$ ，设 $\overrightarrow{O A}= a , \overrightarrow{O B}= b , \overrightarrow{O C}= c$ ，则下列等式成立的是（ ）
$\text{A.}$ $\overrightarrow{O M}=\frac{1}{2} b-\frac{1}{2} c$
$\text{B.}$ $\overrightarrow{A N}=\frac{1}{3} b+\frac{1}{3} c-a$
$\text{C.}$ $\overrightarrow{A P}=\frac{1}{4} b-\frac{1}{4} c-\frac{3}{4} a$
$\text{D.}$ $\overrightarrow{O P}=\frac{1}{4} a +\frac{1}{4} b +\frac{1}{4} c$
已知点 $P$ 是平行四边形 $A B C D$ 所在的平面外一点，如果 $\overrightarrow{A B}=(2,-1,-4), \overrightarrow{A D}=(4,2,0), \overrightarrow{A P}=(-1,2$ ， $-1)$ ．下列结论正确的有（ ）
$\text{A.}$ $A P \perp A B$
$\text{B.}$ $A P \perp A D$
$\text{C.}$ $\overrightarrow{A P}$ 是平面 $A B C D$ 的一个法向量
$\text{D.}$ $\overrightarrow{A P} / / \overrightarrow{B D}$
已知 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 为正方体，下列说法中正确的是（ ）
$\text{A.}$ $\left(\overrightarrow{A_1 A}+\overrightarrow{A_1 D_1}+\overrightarrow{A_1 B_1}\right)^2=3\left(\overrightarrow{A_1 B_1}\right)^2$
$\text{B.}$ $\overrightarrow{A_1 C} \cdot\left(\overrightarrow{A_1 B_1}-\overrightarrow{A_1 A}\right)=0$
$\text{C.}$ 向量 $\overrightarrow{A D_1}$ 与向量 $\overrightarrow{A_1 B}$ 的夹角是 $60^{\circ}$
$\text{D.}$ 正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的体积为 $\left|\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A A_1} \cdot \overrightarrow{A D}\right|$
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
如图，在四面体 $O-A B C$ 中， $\overrightarrow{O A}= a , \overrightarrow{O B}= b , \overrightarrow{O C}= c , D$ 为 $B C$ 的中点，$E$ 为 $A D$ 的中点，则 $\overrightarrow{O E}=$ $\qquad$ （用 $a , b , c$ 表示）．
如图，已知四棱柱 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的底面 $A_1 B_1 C_1 D_1$ 为平行四边形，$E$ 为棱 $A B$ 的中点， $\overrightarrow{A F}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A G}=$ $2 \overrightarrow{G A}_1, A C_1$ 与平面 $E F G$ 交于点 $M$ ，则 $\frac{A M}{A C_1}=$ $\qquad$ ．
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $E, F, G, H$ 分别是空间四边形 $A B C D$ 的边 $A B, B C, C D, D A$ 的中点．
（1）求证：$E, F, G, H$ 四点共面；
（2）求证：$B D / /$ 平面 $E F G H$ ；
（3）设 $M$ 是 $E G$ 和 $F H$ 的交点，求证：对空间任一点 $O$ ，有 $\overrightarrow{O M}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D})$ ．
已知 $A, B, C$ 三点不共线，对平面 $A B C$ 外的任一点 $O$ ，若点 $M$ 满足 $\overrightarrow{O M}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C})$ ．
（1）判断 $\overrightarrow{M A}, \overrightarrow{M B}, \overrightarrow{M C}$ 三个向量是否共面；
（2）判断点 $M$ 是否在平面 $A B C$ 内．
如图所示，四棱柱 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，底面为平行四边形，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长都为 1，且两两夹角为 $60^{\circ}$ ．
（1）求 $A C_1$ 的长；
（2）求证：$A C_1 \perp B D$ ；
（3）求 $B D_1$ 与 $A C$ 夹角的余弦值．
在如图所示的长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 2 的正方形，$O$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点， $B B_1=\sqrt{2}, M$ 是线段 $B_1 D_1$ 的中点．求证：
（1）$B M / /$ 平面 $D_1 A C$ ；
（2）$D_1 O \perp$ 平面 $A B_1 C$ ．
如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $a$ 的正方形，侧面 $P A D \perp$ 底面 $A B C D$ ，且 $P A=P D=\frac{\sqrt{2}}{2}$ $A D$ ，设 $E, F$ 分别为 $P C, B D$ 的中点．求证：
（1）$E F / /$ 平面 $P A D$ ；
（2）平面 $P A B \perp$ 平面 $P D C$ ．
