如图所示，四棱柱 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，底面为平行四边形，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长都为 1，且两两夹角为 $60^{\circ}$ ．
（1）求 $A C_1$ 的长；
（2）求证：$A C_1 \perp B D$ ；
（3）求 $B D_1$ 与 $A C$ 夹角的余弦值．
（1）求 $A C_1$ 的长；
（2）求证：$A C_1 \perp B D$ ；
（3）求 $B D_1$ 与 $A C$ 夹角的余弦值．