如图所示，在平行六面体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$M$ 为 $A_1 C_1$ 与 $B_1 D_1$ 的交点．若 $\overrightarrow{A B}= a , \overrightarrow{A D}= b , \overrightarrow{A A}{ }_1= c$ ，则下列向量中与 $\overrightarrow{B M}$ 相等的向量是（ ）
A. $-\frac{1}{2} a+\frac{1}{2} b+c$
B. $\frac{1}{2} a+\frac{1}{2} b+c$
C. $-\frac{1}{2} a-\frac{1}{2} b+c$
D. $\frac{1}{2} a-\frac{1}{2} b+c$