单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $I(s)=\int_0^1|\ln | s-t| | d t, s \in[0,1]$ ，则 $I(s)$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\ln 2$
$\text{B.}$ $1+\ln 2$
$\text{C.}$ $2+\ln 2$
$\text{D.}$ $3+\ln 2$
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，满足 $f^{\prime}(x) < f(x)$ ，且 $f(0)=1$ ，则
$\text{A.}$ $\int_0^1 f(x) d x < 1$
$\text{B.}$ $\int_0^1 f(x) d x>1$
$\text{C.}$ $\int_0^1 f(x) d x < e -1$
$\text{D.}$ $\int_0^1 f(x) d x> e -1$
设 $f(x, y)=a x^2+2 a x y+y^2$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值，则 $a$ 的取值范围是 $\square$ ．
$\text{A.}$ $[0,1]$
$\text{B.}$ $[0,1)$
$\text{C.}$ $(0,1]$
$\text{D.}$ $(0,1)$
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 与 $\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$ 的收敛半径分别为 $R_1, R_2$ ，记 $R=\min \left\{R_1, R_2\right\}$ ，则下列结论中正确的个数为 1 ．
（1）$\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_n+b_n\right) x^n$ 的收敛半径为 $R$ ；
（2）$\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_n+b_n\right) x^n$ 的收敛半径不小于 $R$ ；
（3） $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_n+b_n}{a_{n+1}+b_{n+1}}\right|=\frac{1}{R}$ ；
（4）对任意 $x \in(-R, R)$ ，有 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_n+b_n\right) x^n=0$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $A , B , C$ 均为 $n$ 阶矩阵，则 $r\left(\begin{array}{ll} A & C \\ O & B \end{array}\right)=r( A )+r( B )$ 是 $C$ 的列向量可由 $A$ 的列向量线性表示的
$\text{A.}$ 必要非充分条件
$\text{B.}$ 充分非必要条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件
设 $A =\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ ，则下列条件中不是 $A$ 相似于对角矩阵的充分条件的是
$\text{A.}$ $| A | < 0$
$\text{B.}$ $b, c$ 同号
$\text{C.}$ $b=c$
$\text{D.}$ $b, c$ 异号
二次型 $x ^{ T } A x =\left(x_1+2 x_2+a x_3\right)\left(x_1+5 x_2+b x_3\right)$ 的正惯性指数 $p$ 与负惯性指数 $q$ 分别为
$\text{A.}$ $p=2, q=1$
$\text{B.}$ $p=2, q=0$
$\text{C.}$ $p=1, q=1$
$\text{D.}$ 与 $a, b$ 有关，不能确定
设 $(X, Y)$ 的联合概率密度为 $f(x, y)=\frac{1}{2 \pi} e ^{-\frac{r^2 y^2}{2}}$ ，则 $P\{Y \geqslant X\}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X \sim B(1, p)(0 < p < 1), Y$ 为连续型随机变量，则
$\text{A.}$ $P\{X Y=0\}=0$
$\text{B.}$ $P\{X Y=1\}=0$
$\text{C.}$ $X Y$ 为连续型随机变量
$\text{D.}$ $X Y$ 为离散型随机变量
设 $\hat{\theta}$ 为 $\theta$ 的无偏估计，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} D(\hat{\theta})=0$ ，则 $\hat{\theta}$ 为 $\theta$ 的【】．
$\text{A.}$ 有效估计
$\text{B.}$ 一致估计
$\text{C.}$ 矩估计
$\text{D.}$ 最大似然估计
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)=\frac{1+x e ^x}{1+x}$ ，则 $f^{(5)}(0)=$
设 $f(x)$ 为微分方程 $x f^{\prime}(x)-f(x)=\sqrt{2 x-x^2}$ 满足初始条件 $f(1)=0$ 的解，则 $\int_0^1 f(x) d x=$
设曲线方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\int_1^t \frac{\cos u}{u} d u, \\ y=\int_1^t \frac{\sin u}{u} d u,\end{array}\right.$ 则从原点到曲线右边第一条垂直于 $x$ 轴的切线之间的
弧长 $s=$
微分方程 $y^{\prime \prime}+y=x+\cos ^2 x$ 的通解为
设三元二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)= x ^{ T } A x$ 经过正交变换化为标准形 $y_1^2-y_2^2+2 y_3^2$ ，则 $A ^3-2 A ^2-$ $A+4 E=$
设随机变量 $X \sim \chi^2(1)$ ，根据切比雪夫不等式，估计 $P\{X \geqslant 4\} \leqslant$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $x_1=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\int_0^1 \max \left\{x_n, x\right\} d x(n=1,2, \cdots)$ ．证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求其极限。
设 $f(t)=\iint_D|x y-t| d x d y, t \in[0,1]$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（I）求 $f(t)$ ；
（II）证明 $f^{\prime}(t)=0$ 在 $(0,1)$ 内有一个实根．
（I）求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!}(x-1)^n$ 的和函数 $f(x)$ ；
（II）将 $f(x)$ 展开成 $x$ 的幂级数．
设曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r=1+\cos \theta, \theta \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ ，质点 $P$ 在力 $F$的作用下沿曲线 $L$ 从点 $A(0,-1)$ 运动到点 $B(0,1)$ ，力 $F$ 的大小等于点 $P$ 到点 $M(3,4)$的距离，其方向垂直于线段 $M P$ ，且与 $y$ 轴正向的夹角为锐角，求力 $F$ 对质点 $P$ 做的功 $W$ 。
设 $\alpha _1=(1,0,-3)^{\top}, \alpha _2=(-2,1,0)^{\top}, \alpha _3=(-1,0,1)^{\top}$ 为 $A =$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$ 的特征向量．
（I）求线性方程组 $A x=\alpha_1$ 的通解；
（II）求 $(A+E)^{99}$ ．
设随机变量 $X$ 服从 $[-1,1]$ 上的均匀分布，$Y=$ $\left\{\begin{array}{ll}0, & -1 \leqslant X \leqslant 0.5, \\ 1, & 0.5 < X \leqslant 1,\end{array} Z=|X-0.5|\right.$.
（I）求 $Y$ 的概率分布；
（II）求 $Z$ 的概率密度函数 $f_{:}(z)$ ；
（III）求 $U=Y Z$ 的分布函数 $F_U(u)$ ．