单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
如图 1，矩形 $A B C D$ 中，$B D$ 为其对角线，一动点 $P$ 从 $D$ 出发，沿着 $D \rightarrow B \rightarrow C$的路径行进，过点 $P$ 作 $P Q \perp C D$ ，垂足为 $Q$ ．设点 $P$ 的运动路程为 $x, P Q-D Q$ 为 $y, y$ 与 $x$ 的函数图象如图 2 ，则 $A D$ 的长为
$\text{A.}$ $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{8}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{7 \sqrt{3}}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{11}{4}$
如图，在边长为 6 的正方形 $A B C D$ 中，点 $E, F$ 分别是边 $A B, B C$ 上的动点，且满足 $A E=B F, A F$ 与 $D E$ 交于点 $O$ ，点 $M$ 是 $D F$ 的中点，$G$ 是边 $A B$ 上的点，$A G=2 G B$ ，则 $O M+\frac{1}{2} F G$ 的最小值是
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 5
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 10
如图 1，动点 $P$ 从菱形 $A B C D$ 的点 $A$ 出发，沿边 $A B \rightarrow B C$ 匀速运动，运动到点 $C$ 时停止．设点 $P$ 的运动路程为 $x, P O$ 的长为 $y, y$ 与 $x$ 的函数图象如图 2 所示，当点 $P$ 运动到 $B C$ 中点时，$P O$ 的长为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $\sqrt{5}$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{2}$
如图，在菱形 $A B C D$ 中，$A B=6, \angle B=30^{\circ}$ ，点 $E$ 是 $B C$ 边上的动点，连接 $A E, D E$ ，过点 $A$ 作 $A F \perp D E$于点 $P$ ．设 $D E=x, A F=y$ ，则 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式为（不考虑自变量 $x$ 的取值范围
$\text{A.}$ $y=\frac{9}{x}$
$\text{B.}$ $y=\frac{12}{x}$
$\text{C.}$ $y=\frac{18}{x}$
$\text{D.}$ $y=\frac{36}{x}$
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
如图，已知两条平行线 $l_1, ~ l_2$ ，点 $A$ 是 $l_1$ 上的定点，$A B \perp l_2$ 于点 $B$ ，点 $C, ~ D$ 分别是 $l_1, ~ l_2$ 上的动点，且满足 $A C=B D$ ，连接 $C D$ 交线段 $A B$ 于点 $E, B H \perp C D$ 于点 $H$ ，则当 $\angle B A H$ 最大时， $\sin \angle B A H$ 的值为
如图，在 平行四边形 $ A B C D$ 中，$A B=4, A D=5, \angle A B C=30^{\circ}$ ，点 $M$ 为直线 $B C$ 上一动点，则 $M A+M D$ 的最小值为
如图，$\odot M$ 的圆心为 $M(4,0)$ ，半径为 $2, P$ 是直线 $y=x+4$ 上的一个动点，过点 $P$ 作 $\odot M$ 的切线，切点为 $Q$ ，则 $P Q$ 的最小值为
如图，已知 $\angle A O B=50^{\circ}$ ，点 $P$ 为 $\angle A O B$ 内部一点，点 $M$ 为射线 $O A$ ，点 $N$ 为射线 $O B$ 上的两个动点，当 $\triangle PMN$ 的周长最小时，则 $\angle M P N=$
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $A(3,0), B(0,2)$ ，过点 $B$ 作 $y$ 轴的垂线 $l$ ，$P$ 为直线 $l$ 上一动点，连接 $P O, P A$ ，则 $P O+P A$ 的最小值为
如图，在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A B C=60^{\circ}, B C=8, E$ 是 $B C$ 边上一点，且 $B E=2$ ，点 $I$ 是 $\triangle ABC$ 的内心，$B I$ 的延长线交 $A C$ 于点 $D, P$ 是 $B D$ 上一动点，连接 $P E, ~ P C$ ，则 $P E+P C$ 的最小值为
如图，在平行四边行 $A B C D$ 中，$\angle C=120^{\circ}, A B=8, B C=10 . E$ 为边 $C D$ 的中点， $F$ 为边 $A D$ 上的一动点，将 $\triangle D E F$ 沿 $E F$ 翻折得 $\triangle D ^{\prime} E F$ ，连接 $A D^{\prime}, B D^{\prime}$ ，则 $\triangle A B D^{\prime}$ 面积的最小值为
如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $1, M, ~ N$ 是边 $B C, ~ C D$ 上的动点．若 $\angle M A N=45^{\circ}$ ，则 $M N$ 的最小值为
如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，$A B=2, A D=4, E, ~ F$ 分别是边 $C D, ~ A D$ 上的动点，且 $C E=D F$ ．当 $A E+C F$的值最小时，则 $C E=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
如图， $\triangle A B C$ 中，$A C=B C, \angle A C B=90^{\circ}, A(-2,0), C(6,0)$ ，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0, x>0)$ 的图象与 $A B$交于点 $D(m, 4)$ ，与 $B C$ 交于点 $E$ ．
（1）求 $m, k$ 的值；
（2）点 $P$ 为反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0, x>0)$ 图象上一动点（点 $P$ 在 $D, E$ 之间运动，不与 $D, E$ 重合），过点 $P$作 $P M / / A B$ ，交 $y$ 轴于点 $M$ ，过点 $P$ 作 $P N / / x$ 轴，交 $B C$ 于点 $N$ ，连接 $M N$ ，求 $V P M N$ 面积的最大值，并求出此时点 $P$ 的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=k x+b$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{m}{x}$ 的图象交于 $A(-6,1), B(1, n)$ 两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）$P$ 是直线 $x=-2$ 上的一个动点，$\triangle P A B$ 的面积为 21 ，求点 $P$ 坐标；
（3）点 $Q$ 在反比例函数 $y=\frac{m}{x}$ 位于第四象限的图象上，$V Q A B$ 的面积为 21 ，请直接写出 $Q$ 点坐标．
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y=a x^2+b x+3$ 经过点 $A(3,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，且关于直线 $x=1$ 对称．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当 $-1 \leq x \leq t$ 时，$y$ 的取值范围是 $0 \leq y \leq 2 t-1$ ，求 $t$ 的值；
（3）点 $C$ 是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $A B$ 于点 $D$ ，在 $y$ 轴上是否存在点 $E$ ，使得以 $B, C, D, E$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
已知抛物线 $y=-x^2+b x+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0), B(3,0)$ ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 为线段 $O C$ 上一点（不与端点重合），直线 $P A, P B$ 分别交抛物线于点 $E, D$ ，设 $V P A D$ 面积为 $S_1, \triangle P B E$ 面积为 $S_2$ ，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的值；
（3）如图2，点 $K$ 是抛物线对称轴与 $x$ 轴的交点，过点 $K$ 的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点 $M, N$ ，过抛物线顶点 $G$ 作直线 $l / / x$ 轴，点 $Q$ 是直线 $l$ 上一动点．求 $Q M+Q N$ 的最小值．
如图，在 $ A B C$ 中，$\angle C=90^{\circ}, \angle B=30^{\circ}, A C=3 cm, A D$ 是 $V A B C$ 的角平分线．动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $\sqrt{3} cm / s$ 的速度沿折线 $A D-D B$ 向终点 $B$ 运动．过点 $P$ 作 $P Q / / A B$ ，交 $A C$ 于点 $Q$ ，以 $P Q$ 为边作等边三角形 $P Q E$ ，且点 $C, E$ 在 $P Q$ 同侧，设点 $P$ 的运动时间为 $t(s)(t>0)$ ， $V P Q E$ 与 $V A B C$重合部分图形的面积为 $S\left(cm^2\right)$ ．
（1）当点 $P$ 在线段 $A D$ 上运动时，判断 $\triangle A P Q$ 的形状（不必证明），并直接写出 $A Q$ 的长（用含 $t$ 的代数式表示）。
（2）当点 $E$ 与点 $C$ 重合时，求 $t$ 的值．
（3）求 $S$ 关于 $t$ 的函数解析式，并写出自变量 $t$ 的取值范围．
如图，抛物线 $y=x^2-x+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当 $0 < x \leq 2$ 时，求 $y=x^2-x+c$ 的函数值的取值范围；
（3）将抛物线的顶点向下平移 $\frac{3}{4}$ 个单位长度得到点 $M$ ，点 $P$ 为抛物线的对称轴上一动点，求 $P A+\frac{\sqrt{5}}{5} P M$ 的最小值．
