2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷ⅰ）

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2008年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷ⅰ）

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 函数

y = \sqrt{x (x - 1)} + \sqrt{x}

的定义域为（　　）

A.

{x ∣ x ⩾ 0}

B.

{x ∣ x ⩾ 1}

C.

{x ∣ x ⩾ 1} \cup {0}

D.

{x ∣ 0 ⩽ x ⩽ 1}

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2. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车, 若把这一过程中汽车的行驶路程

s

看作时间

t

的函数, 其图象可能是（　　）

A.

B.

C.

D.

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3. 在

△ ABC

中,

\vec{AB} = \vec{c}, \vec{AC} = \vec{b}

. 若点

D

满足

\vec{BD} = 2 \vec{DC}

, 则

\vec{AD} = (

)

A.

\frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}

B.

\frac{5}{3} \vec{c} - \frac{2}{3} \vec{b}

C.

\frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}

D.

\frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}

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4. 设

a \in R

, 且

(a + i)^{2} i

为正实数, 则

a =

（　　）

A.

B.

C.

D.

-1

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5. 已知等差数列

{a_{n}}

满足

a_{2} + a_{4} = 4, a_{3} + a_{5} = 10

, 则它的前 10 项的和

S_{10} =

（　　）

A.

138

B.

135

C.

D.

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6. 若函数

y = f (x)

的图象与函数

y = \ln \sqrt{x} + 1

的图象关于直线

y = x

对称, 则

f (x) =

（　　）

A.

e^{2 x - 2}

B.

e^{2 x}

C.

e^{2 x + 1}

D.

e^{2 x + 2}

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7. 已知曲线

y = \frac{x + 1}{x - 1}

在点

(3, 2

) 处的切线与直线

a x + y + 1 = 0

垂直, 则

a

的值为

(

)

A.

2

B.

\frac{1}{2}

C.

- \frac{1}{2}

D.

- 2

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8. 为得到函数

y = \cos (2 x + \frac{π}{3})

的图象, 只需将函数

y = \sin 2 x

的图象 ( )

A.

向左平移

\frac{5 π}{12}

个长度单位

B.

向右平移

\frac{5 π}{12}

个长度单位

C.

向左平移

\frac{5 π}{6}

个长度单位

D.

向右平移

\frac{5 π}{6}

个长度单位

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9. 设奇函数

f (x)

在

(0, + \infty)

上为增函数, 且

f (1) = 0

, 则不等式

\frac{f (x) - f (- x)}{x} < 0

的解集为（　　）

A.

(- 1, 0) \cup (1, + \infty)

B.

(- \infty, - 1) \cup (0, 1)

C.

(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)

D.

(- 1, 0) \cup (0, 1)

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10. 若直线

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

与圆

x^{2} + y^{2} = 1

有公共点, 则（）

A.

a^{2} + b^{2} ⩽ 1

B.

a^{2} + b^{2} ⩾ 1

C.

\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ⩽ 1

D.

\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} ⩾ 1

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11. 已知三棱柱

ABC - A_{1} B_{1} C_{1}

的侧棱与底面边长都相等,

A_{1}

在底面

ABC

内的射影为

△ A B C

的中心, 则

A B_{1}

与底面

A B C

所成角的正弦值等于（　　）

A.

\frac{1}{3}

B.

\frac{\sqrt{2}}{3}

C.

\frac{\sqrt{3}}{3}

D.

\frac{2}{3}

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12. 12. (5 分) 如图,一环形花坛分成

A, B, C, D

四块, 现有 4 种不同的花供选种, 要求在每块里种 1 种花, 且相邻的 2 块种不同的花, 则不同的种法总数为 ( )

A.

B.

C.

D.

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 若

x, y

满足约束条件

x + y ⩾ 0

x - y + 3 ⩾ 0,

则

z = 2 x - y

的最大值为（　　）

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14. 已知抛物线

y = {ax}^{2} - 1

的焦点是坐标原点, 则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为（　　）

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15. 在

△ A B C

中,

A B = B C, \cos B = - \frac{7}{18}

. 若以

A, B

为焦点的椭圆经过点

C

, 则该椭圆的离心率（　　）

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16. 等边三角形

A B C

与正方形

A B D E

有一公共边

A B

, 二面角

C - A B - D

的余弦值为

\frac{\sqrt{3}}{3}, M, N

分别是

AC, BC

的中点, 则

EM, AN

所成角的余弦值等于（　　）

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 设

△ A B C

的内角

A, B, C

所对的边长分别为

a, b, c

, 且

a \cos B - b \cos A =

\frac{3}{5} c .

(I) 求

\frac{\tan A}{\tan B}

的值;
(II) 求

\tan (A - B

) 的最大值.

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18. 四棱雉

A - B C D E

中, 底面

B C D E

为矩形, 侧面

A B C ⊥

底面

B C D E, B C = 2

C D = \sqrt{2}, A B = A C

.
( I ) 证明:

AD ⊥ CE

;
（II) 设

CE

与平面

ABE

所成的角为

45^{\circ}

, 求二面角

C - A D - E

的大小.

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19. 已知函数

f (x) = - x^{2} + a x + 1 - \ln x

.
(I) 当

a = 3

时，求函数

f (x)

的单调递增区间;
(II ) 若

f (x)

在区间

(0, \frac{1}{2})

上是减函数, 求实数

a

的取值范围.

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20. 已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病, 需要通过化验血液来确定患病的动物. 血液化验结果呈阳性的即为患病动物, 呈阴性即没患病. 下面是两种化验方法:
方案甲: 逐个化验, 直到能确定患病动物为止.
方案乙: 先任取 3 只, 将它们的血液混在一起化验. 若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只, 然后再逐个化验, 直到能确定患病动物为止; 若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验.
( I ) 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;
(III)

ξ

表示依方案乙所需化验次数, 求

ξ

的期望.

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21. 双曲线的中心为原点

O

, 焦点在

x

轴上, 两条渐近线分别为

I_{1}, I_{2}

, 经过右焦点

F

垂直于

I_{1}

的直线分别交

l_{1}, I_{2}

于

A, B

两点. 已知

| \vec{O A} | 、 | \vec{A B} |

、

| \vec{OB} |

成等差数列, 且

\vec{BF}

与

\vec{FA}

同向.
（I）求双曲线的离心率;
（II ) 设

A B

被双曲线所截得的线段的长为 4 , 求双曲线的方程.

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22. 设函数

f (x) = x - x \ln x

. 数列

{a_{n}}

满足

0 < a_{1} < 1, a_{n + 1} = f (a_{n})

.
（I）证明：函数

f (x)

在区间

(0, 1 ）

是增函数;
(II ) 证明:

a_{n} < a_{n + 1} < 1

;
（III）设

b \in (a_{1}, 1)

, 整数

k ⩾ \frac{a_{1} - b}{a_{1} \ln b}

. 证明:

a_{k + 1} > b

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