单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\ln \left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)-x^{\frac{2}{3}}$, 则
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0)$ 不存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在.
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在.
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 存在.
$\text{D.}$ 无法确定 $f^{\prime \prime}(0)$ 是否存在.
$f(x)=\frac{x \ln |x|}{|x-1|} \mathrm{e}^{\frac{1}{(x-1)(x-2)}}$ 的无穷间断点的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $I=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\beta x} \cos q x \mathrm{~d} x$, 则
$\text{A.}$ 当 $p \leqslant 0$ 时, $I=q^2$.
$\text{B.}$ 当 $p \leqslant 0$ 时, $I=p^2+q^2$.
$\text{C.}$ 当 $p>0$ 时, $I=\frac{p}{p^2+q^2}$
$\text{D.}$ 当 $p>0$ 时, $I=\frac{1}{p^2+q^2}$.
设 $y_1=\mathrm{e}^{-x}, y_2=2 x$ 是常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime \prime}+a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0$ 的两 个解, 则该方程的通解可为
$\text{A.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-x}+C_2+C_3 x$.
$\text{B.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-x}+C_2 \mathrm{e}^x+C_3 x$.
$\text{C.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-x}+C_2 \mathrm{e}^x+C_3$.
$\text{D.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-x}+C_2 x \mathrm{e}^x+C_3$.
设 $a_0=1, \sum_{n=0}^{\infty} 2 a_n x^{n+1}+\sum_{n=0}^{\infty}(n+1) a_{n+1} x^n=0$, 则级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n=\quad$ ）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ e
$\text{C.}$ $-1$.
$\text{D.}$ $\mathrm{e}^{-1}$.
$I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{\frac{1}{\sin \theta}} f(r) r \mathrm{~d} r=$
$\text{A.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^1 f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) \mathrm{d} y$.
$\text{B.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_1^x f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) \mathrm{d} y$.
$\text{C.}$ $\int_0^1 \mathrm{~d} r \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} f(r) r \mathrm{~d} \theta+\int_1^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} r \int_{\frac{\pi}{4}}^{\arcsin \frac{1}{r}} f(r) r \mathrm{~d} \theta$.
$\text{D.}$ $\int_0^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} r \int_{\arcsin \frac{1}{r}}^{\frac{\pi}{4}} f(r) \mathrm{d} \theta$.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 是 $n$ 维列向量 $(s < n)$, 向量组 ( I ) $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$, 向 量组 (II) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_s$, 则下列结论中正确的是
$\text{A.}$ 若 (I) 线性无关, 则 (II) 线性无关.
$\text{B.}$ 若 (II) 线性相关, 则 ( I ) 线性相关.
$\text{C.}$ 若 ( I ) 线性无关, (II) 线性相关, 则 $\boldsymbol{A}$ 不可逆.
$\text{D.}$ 若 (I) 线性无关, $\boldsymbol{A}$ 不可逆, 则 (II) 线性相关.
设实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0\end{array}\right)$ 合同, $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 则二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}$ 的规范形为
$\text{A.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$.
$\text{B.}$ $-y_1^2-y_2^2+y_3^2$.
$\text{C.}$ $y_1^2+y_2^2+y_3^2$.
$\text{D.}$ $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, $X \sim N(0,1), Y$ 的概率分布为 $P\{Y=0\}=\frac{1}{4}$, $P\{Y=1\}=\frac{3}{4}, Z=X Y$, 则对于 $Z$ 的分布函数 $F(z)$ 有
$\text{A.}$ $\lim _{z \rightarrow 0^{-}} F(z)=\frac{3}{8}, \lim _{z \rightarrow 0^{+}} F(z)=\frac{5}{8}$.
$\text{B.}$ $\lim _{z \rightarrow 0^{-}} F(z)=\lim _{z \rightarrow 0^{+}} F(z)=\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\lim _{z \rightarrow 0^{-}} F(z)=\frac{1}{4}, \lim _{z \rightarrow 0^{+}} F(z)=\frac{3}{4}$.
$\text{D.}$ $\lim _{z \rightarrow 0^{-}} F(z)=\frac{3}{4}, \lim _{z \rightarrow 0^{+}} F(z)=\frac{5}{8}$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_8$ 为来自总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, $Y^2=\frac{1}{8} \sum_{i=1}^8 X_i^2$, 则 下列选项正确的是
$\text{A.}$ $X^2 \sim \chi^2(1)$.
$\text{B.}$ $Y^2 \sim \chi^2(8)$
$\text{C.}$ $\frac{X}{Y} \sim t(8)$.
$\text{D.}$ $\frac{X^2}{Y^2} \sim F(8,1)$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1-2 x^3\right)+x f(x)}{x^6}=3$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-2 x^2}{x^5}=$
已知某产品的生产函数为 $Q=A K^\alpha L^\beta$, 其中 $Q$ 为产量, $K$ 表示资金, $L$ 表示劳力, $A, \alpha, \beta$ 为正常数, 且 $\alpha+\beta=1$, 则 $K \frac{\partial Q}{\partial K}+L \frac{\partial Q}{\partial L}=$
$f(x, y)=\mathrm{e}^{2 x}\left(x+2 y+y^2\right)$ 的极值为
$\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^2} \int_0^t \mathrm{~d} x \int_0^{t-x} \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} y=$
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的特征值为 $1,2,3, A_{11}, A_{22}, A_{33}$ 为 $|\boldsymbol{A}|$ 的代数余子式, 则 $A_{11}+$ $A_{22}+A_{33}=$
设二维总体 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}2 \theta^{-2} \mathrm{e}^{-\frac{x+y}{\theta}}, & 0 < x < y < +\infty, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$
( $\left.X_1, Y_1\right),\left(X_2, Y_2\right), \cdots,\left(X_n, Y_n\right)$ 为 $(X, Y)$ 的一组简单随机样本, 则 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $y=y(x)$ 满足 $x^2 y^{\prime}+y=x^2 \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}(x \neq 0)$, 且 $y(1)=3 \mathrm{e}$.
(I) 求 $y=y(x)$ 的全部渐近线方程;
(II) 讨论曲线 $y=y(x)$ 与 $y=k(k>0)$ 不同交点的个数.
设非负函数 $f(x)$ 在 $[0, t](t>0)$ 上有二阶连续导数, 且 $f(0)=0, f''(x)>0, D=$ $\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant t, 0 \leqslant y \leqslant f(x)\}$, 证明:
$$
\iint_D x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y>\frac{2}{3} t \iint_D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$
设曲线 $y=\frac{1}{x(\ln x)^{n+1}}(n=1,2, \cdots)$ 在 $\left[\mathrm{e}^2,+\infty\right)$ 上与 $x$ 轴所围无界区域的面积为
$$
a_n \text {, 求 } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} \text {. }
$$
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$, 计算 $I=\iint_D 2 x y \mathrm{e}^{x^2-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
设向量 $\boldsymbol{\beta}=(b, 1,1)^{\mathrm{T}}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1=(a, 0,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(1, a-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(1,0, a)^{\mathrm{T}}$ 线性 表示,且表示法不唯一, 记 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$.
( I ) 求 $a, b$ 的值,并写出 $\boldsymbol{\beta}$ 由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 表示的线性表达式;
(II) 求一个可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{\Lambda}$ ( $\boldsymbol{\Lambda}$ 为对角矩阵).
设随机变量 $X \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right), Y \sim E(1)$, 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 记 $Z=(2 X-1) Y,(Y, Z)$ 的分布函数为 $F(y, z)$.
(I) 求 $Z$ 的概率密度;
(II) 求 $F(2,-1)$ 的值.