合工大《超越数一》全国硕士研究生入学统一考试模拟试卷第二套2022

导出试卷

合工大《超越数一》全国硕士研究生入学统一考试模拟试卷第二套2022

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x)

在点

x = 0

处可导,则

f (| x |)

在点

x = 0

处可导的充分必要条件是（）.

A.

f (0) = 0

B.

f^{'} (0) = 0

C.

f (0) = 0

且

f^{'} (0) = 0

D.

f (0) = 0

或

f^{'} (0) = 0

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

2. 设有积分

I_{1} = \int_{0}^{1} \frac{x}{\ln (1 + x)} d x, I_{2} = \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\ln^{2} (1 + x)} d x, I_{3} = \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\ln (1 + x^{2})} d x

, 则

I_{1}, I_{2}, I_{3}

按大小不同排列的顺序是

A.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

B.

I_{1} < I_{3} < I_{2}

C.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

D.

I_{3} < I_{1} < I_{2}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

3. 设数列

{x_{n}}

满足条件

lim_{n \to \infty} (x_{n + 1} - x_{n}) = 0

, 则这个数列收敛的充分必要条件是 ( ).

A.

数列

{x_{n}}

有界

B.

数列

{x_{n}}

单调

C.

数列

{x_{n}}

单调有界

D.

lim_{n \to \infty} x_{3 n} = a

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

4. 若

f (x, x^{2}) = x^{2} e^{- x}, {f_{x}^{'} (x, y) |}_{y = x^{2}} = - x^{2} e^{- x}

, 则当

x \neq 0

时,

{f_{y}^{'} (x, y) |}_{y = x^{2}} =

( ).

A.

2 x e^{- x}

B.

(- x^{2} + 2 x) e^{- x}

C.

e^{- x}

D.

(2 x - 1) e^{- x}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

5. 已知

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) = a, f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) = b

, 则 ( ).

A.

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处连续

B.

{d f (x, y) |}_{(x_{0}, y_{0})} = a d x + b d y

C.

{\frac{\partial f}{\partial l} |}_{(x_{0}, y_{0})} = a \cos α + b \cos β

, 其中

\cos α, \cos β

是向量

l

的方向余弦

D.

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处沿

x

轴负方向的方向导数为

- a

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

6. 设函数

f (x, y)

在点

(0, 0)

的某邻域内连续, 且

f (0, 0) \neq 0

, 则极限

lim_{t \to 0^{+}} \frac{\iint_{| x | + | y | \leq \sqrt{t}} f (x, y) d σ}{\int_{0}^{t} f (x, x) d x} =

A.

B.

C.

f (0, 0)

D.

π

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

7. 设

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

都是

n

维向量，则（）不正确。

A.

若

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关,

α_{4}

不能用

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示, 则

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

线性无关

B.

若

α_{1}, α_{2}

线性无关,

α_{3}, α_{4}

都不能用

α_{1}, α_{2}

线性表示, 则

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

线性无关

C.

若存在

n

阶矩阵

A

, 使得

A α_{1}, A α_{2}, A α_{3}, A α_{4}

线性无关, 则

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

线性无关

D.

若

α_{1} = A β_{1}, α_{2} = A β_{2}, α_{3} = A β_{3}, α_{4} = A β_{4}

, 其中

n

阶矩阵

A

可逆, 已知

β_{1}, β_{2}, β_{3}, β_{4}

线性无关则

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

线性无关

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

8. 设

A, B

为

n

阶方阵, 若方程组

A x = 0

的解都是

B x = 0

的解, 则下列方程组中有 (

) 个与

A x = 0

同解.
(1)

(A + B) x = 0

(2)

A B x = 0

(3)

B A x = 0

(4)

(\binom{A - B}{A + B}) x = 0

(5)

(\binom{A}{B}) x = 0

A.

B.

C.

D.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

9. 设随机变量

X_{1}

与

X_{2}

相互独立, 其分布函数分别为

\begin{aligned} F_{1} (x) = {\begin{cases} 0, & x < 0, \\ \frac{1}{2}, & 0 ⩽ x < 1, F_{2} (x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{t^{2}}{2}} d t, - \infty < x < + \infty, \\ 1, & x ⩾ 1, \end{cases} \end{aligned}

则

X_{1} + X_{2}

的分布函数

F (x) = ()

A.

F_{1} (x) + F_{2} (x)

B.

\frac{1}{2} F_{1} (x) + \frac{1}{2} F_{2} (x)

C.

\frac{1}{2} F_{1} (x) + \frac{1}{2} F_{2} (x - 1)

D.

\frac{1}{2} F_{2} (x) + \frac{1}{2} F_{2} (x - 1)

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

10. 连续做某项试验, 每次试验只有成功和失败两种结果, 已知当第

k

次成功时, 第

k + 1

次成功的概率为

\frac{1}{2}

; 当第

k

次失败时, 第

k + 1

次成功的概率为

\frac{3}{4}

. 如果第一次试验成功和失败的概率均为

\frac{1}{2}

, 设第

n

次试验成功的概率为

P_{n}

, 则

lim_{n \to \infty} P_{n} = ()

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{5}{8}

C.

\frac{3}{4}

D.

\frac{3}{5}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 由曲线

y = \frac{3}{x} (x > 0)

与直线

x + y = 4

所围平面图形

D

的形心坐标为

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

12. 已知可微函数

f (x)

在

(0, + \infty)

内满足

\int_{1}^{x} \frac{f (t)}{f^{2} (t) + t} d t = f (x) - 1

, 则

f (x) =

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

13. 曲线

x y = 1

在点

(1, 1)

处的曲率圆方程为

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

14. 函数

f (x) = \frac{1}{x^{2}}

展开成

x - 3

的幂级数为

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

15. 设

A

是三阶实对称矩阵, 若存在正交阵

Q = (q_{1}, q_{2}, q_{3})

, 使得

Q^{- 1} A Q = (\begin{array}{lll} 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}),

则

A - q_{1} q_{1}^{T}

的特征值是

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

16. 设随机变量

X \sim P (λ), Y \sim E (λ)

, 且

X

与

Y

相互独立. 若已知

E X = E Y

, 则

E (X^{2} 2^{Y})

=

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 设方程

2 x^{3} - 6 x y + 3 y^{2} + \frac{1}{e} z \ln z = 0

确定了

z = z (x, y)

, 求

z (x, y)

的极值.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

18. 讨论方程

(x^{2} - 3) - k e^{- x} = 0

根的情况, 其中

k

为实数.

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

19. 设

f (x)

在

[0, π]

上连续, 在

(0, π)

内可导, 若存在

x_{1}, x_{2} \in (\frac{π}{2}, π)

, 使

2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) x \sin x d x = f (x_{1}) + f (x_{2})

, 证明: 在

(0, π)

内存在

ξ

, 使

f^{'} (ξ) = 0

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

20. 设函数

f (u)

具有一阶连续导数,

L

是以

A (1, 1)

和

B (3, 3)

为直径的左上半圆,且从

A

走向

B

, 计算

I = \int_{L} [\frac{1}{x} f (\frac{x}{y}) - y] d x - [\frac{1}{y} f (\frac{x}{y}) + 2 x] d y .

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

21. 已知

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ - 1 & 0 & a \\ 0 & a & - 1 \end{array})

,
（I）解齐次线性方程组

(A^{T} A) x = 0

；
（II）讨论二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x^{T} (A^{T} A) x

的正定性。

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

22. 设总体

X

的密度函数为

f (x) = {\begin{array}{cl} \frac{1}{θ} e^{- \frac{x_{μ}}{θ}}, & x ⩾ μ, \\ 0, & 其他, \end{array}

其中

θ > 0, θ, μ

为参数，

(X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})

为取自总体

X

的简单随机样本。
(I) 如果参数

μ

已知，求未知参数

θ

的极大似然估计量

\hat{θ}

;
(II) 如果参数

θ

已知, 求末知参数

μ

的极大似然估计量

\hat{μ}

查看分享下载此题点赞(0) 收藏(0) 错题本(0) 白板加入试卷

非会员每天可以查看15道试题。开通会员，海量试题无限制查看。

无限看试题
下载试题
组卷

开通会员

热点推荐

试卷二维码

分享此二维码到群，让更多朋友参与

试卷白板

试卷白板提供了一个简单的触摸书写板，可供老师上课、或者视频直播时，直接利用白板给学生讲解试题，如有意见，欢迎反馈。