解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\cos x}{\cos 2 x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$ 。
设函数 $f(x)=|x|^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}$ ，试确定其所有的间断点并判定其类型（第一类，第二类）．
求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数 $\frac{d y}{d x}$ 及二阶导数 $\frac{d^2 y}{d x^2}$ ：
（1）$\left\{\begin{array}{l}x=a \cos ^3 \theta \\ y=a \sin ^3 \theta\end{array}\right.$ ．
（2）$\left\{\begin{array}{l}x=\ln \sqrt{1+t^2} \\ y=\arctan t\end{array}\right.$ ．
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 二阶可导，满足：（1）$f(a)=f(b)=0$ ；（2） $\exists c \in(a, b)$ ，使得 $f(c)>0$ ，证明：$\exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi) < 0$ ．