单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0^{+}$时，下列无穷小量中，与 $x$ 等价的是（ ）．
$\text{A.}$ $e ^{-\sin x}-1$
$\text{B.}$ $\sqrt{x+1}-\cos x$
$\text{C.}$ $1-\cos \sqrt{2 x}$
$\text{D.}$ $1-\frac{\ln (1+x)}{x}$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
函数 $y=\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ 在区间 $(0,1]$ 上无界，但这函数不是当 $x \rightarrow 0^{+}$时的无穷大．
设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导，$f(x)>0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ，且有 $\lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{f(x+h x)}{f(x)}\right]^{\frac{1}{h}}= e ^{\frac{1}{x}}$ ，求 $f(x)$ ．
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导，且 $\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)= e$ ．又 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x-\alpha}{x+\alpha}\right)^x=\lim _{x \rightarrow \infty}[f(x+1)-f(x)]$ ，确定常数 $\alpha$ ．
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left[x-x^2 \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$ ．
已知函数 $y=f(x)$ 是单调可导的函数，经过点 $(2,3)$ ，函数 $y=g(x)$ 是由 $y=f(x)$ 确定的反函数．若 $f^{\prime}(2)=4$ ，求 $g^{\prime}(3)$ ．