单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设随机变量 $X \sim U[-1,1]$, 数学期望 $E ( Y )=\frac{1}{2}$, 且 $X, Y$ 相互独立, 则 $E(X Y+2 Y)=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2}$
设随机变量 $X \sim N\left(2,3^2\right)$, 则 $D(2 X+3)=$
$\text{A.}$ 9.
$\text{B.}$ 18.
$\text{C.}$ 21 .
$\text{D.}$ 36.
设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\frac{1}{\pi\left(1+x^2\right)}(-\infty < x < +\infty)
$$
则 $E X$（ ）．
$\text{A.}$ 等于 0
$\text{B.}$ 等于 1
$\text{C.}$ 等于 $\pi$
$\text{D.}$ 不存在
设 $X$ 服从二项分布 $B(n, p)$ ，则有
$\text{A.}$ $E(2 X-1)=2 n p$
$\text{B.}$ $D(2 X+1)=4 n p(1-p)+1$
$\text{C.}$ $E(2 X+1)=4 n p+1$
$\text{D.}$ $D(2 X-1)=4 n p(1-p)$
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设一次试验成功的概率为 $p$ ，进行 100 次独立重复试验，则成功次数的标准差的最大值为
设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2+2 x-1}(-\infty < x < +\infty),
$$
则 $E X \cdot \sqrt{D X}=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}, & 0 \leqslant x < \pi, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
对 $X$ 独立观察 4 次，用 $Y$ 表示观察值大于 $\frac{\pi}{3}$ 的次数，求 $Y^2$ 的数学期望．
设某种产品每周需求量 $Q$ 取 $1,2, \cdots, 9$ 为其值是等可能的，生产每件产品成本是 $c_1=3$ 元，每件产品售价为 $c_2=9$ 元；没有售出的产品以 $c_3=1$ 元的费用存人仓库，问生产者每周生产多少件产品能使所获利润的期望最大？
报童问题）报童每天从邮局订购零售报纸，批发价为 0.4元／份，而每天报纸的需求量 $X$ 是服从 $N(150,36)$ 的随机变量，零售价为 0.6 元／份，如果当天的报纸卖不掉，他就按每份 0.2 元处理掉。为使获利最大，报童每天应向邮局订购多少份报纸？
已知甲，乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品．从甲箱中任取 3 件产品放人乙箱后，求：
（1）乙箱中次品件数的数学期望；
（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率．
设随机变量 $X$ 的密度函数为
$$
p(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{b}{a}(a-|x|) & |x| \leqslant a \\
0 & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
且已知方差 $D X=1$ ，求常数 $a$ 和 $b$ ．
设随机变量 $X$ 的概率分布为
求 $E(3 X+5), D(2 X+3)$ ．
据统计，一位 40 岁的健康者（体验未发现病症者），在五年之内仍然活着的概率为 $p(0 < p < 1), p$ 为已知，在五年内死亡的概率为 $1-p$ 。保险公司开办五年人寿保险，参加者需交保险费 $a$ 元（ $a>0$ ，为已知）。若五年之内死亡，公司赔偿 $b$ 元 $(b>a)$ ，问 $b$ 的取值在什么范围内公司才可能获利？
将 $n$ 只球投人 $M$ 只盒子中去，每只球落入各个盒子是等可能的，求有球盒子数的数学期望．