填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $D=\{(x, y)| | x|+|y| \leq 1\}$, 则 $\iint_D(x+|y|) d x d y=$
$\int_0^1 d y \int_{\arcsin y}^{\pi-\arcsin y} \sin ^3 x d x=$
$\int_0^1 d y \int_y^1\left(\frac{e^{x^2}}{x}-e^{y^2}\right) d x=$
计算二重积分 $\iint_D \sin \left(\frac{x}{y}\right) d x d y$, 其中 $D$ 是由直线 $y=x, y=2$ 和曲线 $x=y^3$ 所围成的闭区域。
求平面上由 4 条直线 $x+2 y=2, x+2 y=5$ 和 $y=2 x, y=2 x-1$ 所围闭区域的面积。
计算二重积分 $\iint_{\Omega} \frac{(1+x+y)^2}{1+x^2+y^2} d x d y$, 其中区域 $\Omega=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1\right\}$.
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\iint_D(x+y) d x d y$, 其中 $D: x^2+y^2 \leqslant x+y+1$
计算二重积分 $\iint_D e^{x^2+y^2} d \sigma$, 其中 $D$ 是由圆周 $x^2+y^2=4$ 所围成的闭区域.
计算二重积分 $\iint_D x e^y d \sigma$, 其中 $D$ 是由 $y=\ln (x+1) 、 x$ 轴, $x=2$ 所围成的区域.
求极限 $\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi r^2} \iint_{x^2+y^2 \leq 2 r^2} e^{x y^2} \cos \left(x^2-y\right) d x d y$
根据二重积分的性质，比较下列积分大小：$\iint_D \ln (x+y) d \sigma$ 与 $\iint_D[\ln (x+y)]^2 d \sigma$ ，其中 $D$ 是三角形闭区域，三角顶点分别为 $(1,0)$ ， $(1,1),(2,0)$ ．
计算 $\iint_D \frac{x^2}{y^2} d x d y$ ，其中 $D$ 是由直线 $x=2, y=x$ 及曲线 $x y=1$ 所围成的闭区域．
改换下列二次积分的积分次序：
（1） $\int_0^1 d y \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) d x$ ．
（2） $\int_0^\pi d x \int_{-\sin \frac{x}{2}}^{\sin x} f(x, y) d y$