单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $y=y(x)$ 在任意点 $x$ 处的增量 $\Delta y=\frac{y \Delta x}{1+x^2}+\alpha ，$
且当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时， $\alpha$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小量， $y(0)=\pi$ ，则 $y(1)$ 等于
$\text{A.}$ $2 \pi$
$\text{B.}$ $\pi$
$\text{C.}$ $e^{\frac{\pi}{4}}$
$\text{D.}$ $\pi e^{\frac{\pi}{4}}$
设 $\alpha(x)=\int_0^{5 x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t, \beta(x)=\int_0^{\sin x}(1+t)^{\frac{1}{t}} \mathrm{~d} t$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时， $\alpha(x)$ 是 $\beta(x)$ 的
$\text{A.}$ 高阶无穷小
$\text{B.}$ 低阶无穷小
$\text{C.}$ 同阶但不等价的无穷小
$\text{D.}$ 等价无穷小
当 $x \rightarrow 0^{+}$时，与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1-e^{\sqrt{x}}$
$\text{B.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$
$\text{C.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
函数 $f(x)=\lim _{t \rightarrow 0}\left(1+\frac{\sin t}{x}\right)^{\frac{x^2}{t}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内
$\text{A.}$ 连续
$\text{B.}$ 有可去间断点
$\text{C.}$ 有跳跃间断点
$\text{D.}$ 有无穷间断点
设 $\alpha_1=\ln (1+x)+\ln (1-x), \alpha_2=2^{x^4+x}-1, \alpha_3=\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}$. 当 $x \rightarrow 0$ 时, 以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是 ( )
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$.
$\text{B.}$ $\alpha_2, \alpha_1, \alpha_3$.
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_2$.
$\text{D.}$ $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_1$.
曲线 $y=\sqrt{2 x^2+4 x+1}$ 的渐近线的条数为 ( )
$\text{A.}$ 1 .
$\text{B.}$ 2 .
$\text{C.}$ 3.
$\text{D.}$ 4.
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $f(x)=a x+b x^2+\ln (1+x)$ 与 $g(x)=\mathrm{e}^{x^2}-\cos x$ 是等价无穷小，则 $a b=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明: 方程 $\ln x=\frac{x}{\mathrm{e}}-\int_{0}^{\pi} \sqrt{1-\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内有且仅有两个不同实根.
假设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内二阶可导，过点 $A(0, f(0))$ 与 $B(1, f(1))$ 的直线与曲线 $y=f(x)$ 相交于点 $C(c, f(c))$ ，其中 $0 < c < 1$. 证明：在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使 $f^{\prime \prime}(\xi)=0$.
设函数 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续，且
$$
\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x=0, \int_0^\pi f(x) \cos x \mathrm{~d} x=0 .
$$
试证: 在 $(0, \pi)$ 内至少存在两个不同的点 $\xi_1, \xi_2$ ，使
$$
f\left(\xi_1\right)=f\left(\xi_2\right)=0 .
$$
设 $f(x)$ 连续可导, 且 $f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=\pi$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\sin x)}{\tan ^2 x-\sin ^2 x}$.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_{n+1}=\sqrt{\frac{\pi}{2} x_n \sin x_n}$, 且 $0 < x_1 < \frac{\pi}{2}$. 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sec x_n-\tan x_n}{\frac{\pi}{2}-x_n}$.