单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
设总体 $X \sim B(m, \theta), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本, $\bar{X}$ 为样本均值, 则 $E\left[\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2\right]=$
$\text{A.}$ $(m-1) n \theta(1-\theta)$.
$\text{B.}$ $m(n-1) \theta(1-\theta)$.
$\text{C.}$ $(m-1)(n-1) \theta(1-\theta)$.
$\text{D.}$ $m n \theta(1-\theta)$.
设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的泊松分布, $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geqslant 2)$ 为来自该总体的简单随机样本, 则对于统计量 $T_1=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, T_2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n-1} X_i+\frac{1}{n} X_n$, 有
$\text{A.}$ $E\left(T_1\right)>E\left(T_2\right), D\left(T_1\right)>D\left(T_2\right)$.
$\text{B.}$ $E\left(T_1\right)>E\left(T_2\right), D\left(T_1\right) < D\left(T_2\right)$.
$\text{C.}$ $E\left(T_1\right) < E\left(T_2\right), D\left(T_1\right)>D\left(T_2\right)$.
$\text{D.}$ $E\left(T_1\right) < E\left(T_2\right), D\left(T_1\right) < D\left(T_2\right)$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 则数学期望 $E\left\{\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)\left[\sum_{j=1}^n\left(n X_j-\sum_{k=1}^n X_k\right)^2\right]\right\}$ 等于
$\text{A.}$ $n^3(n-1) \mu \cdot \sigma^2$.
$\text{B.}$ $n(n-1) \mu \cdot \sigma^2$.
$\text{C.}$ $n^2(n-1) \mu \cdot \sigma^2$.
$\text{D.}$ $n^3(n-1) \mu \cdot \sigma$.
假设随机变量 $X \sim N\left(1,2^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_{100}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 是样本均值, 已知 $Y=a \bar{X}+b \sim N(0,1)$, 则
$\text{A.}$ $a=-5, b=5$.
$\text{B.}$ $a=5, b=5$.
$\text{C.}$ $a=\frac{1}{5}, b=-\frac{1}{5}$.
$\text{D.}$ $a=-\frac{1}{5}, b=\frac{1}{5}$.
设总体 $X$ 与 $Y$ 都服从正态分布 $N\left(0, \sigma^2\right), X_1, \cdots, X_n$ 与 $Y_1, \cdots, Y_n$ 分别来自总体 $X$ 与 $Y$ 容量都为 $n$ 的两个相互独立简单随机样本, 样本均值和方差分别为 $\bar{X}$, $S_X^2, \bar{Y}, S_Y^2$ 。则
$\text{A.}$ $\bar{X}-\bar{Y} \sim N\left(0, \sigma^2\right)$.
$\text{B.}$ $S_X^2+S_Y^2 \sim \chi^2(2 n-2)$.
$\text{C.}$ $\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{S_X^2+S_Y^2}} \sim t(2 n-2)$.
$\text{D.}$ $\frac{S_X^2}{S_Y^2} \sim F(n-1, n-1)$.
设随机变量 $X \sim t(n)(n>1), Y=\frac{1}{X^2}$, 则
$\text{A.}$ $Y \sim \chi^2(n)$.
$\text{B.}$ $Y \sim \chi^2(n-1)$.
$\text{C.}$ $Y \sim F(n, 1)$.
$\text{D.}$ $Y \sim F(1, n)$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 是样本均值, 记
$$
\begin{array}{ll}
S_1^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, & S_2^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, \\
S_3^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2, & S_k^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2,
\end{array}
$$
则服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布的随机变量是
$\text{A.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{S_1 / \sqrt{n-1}}$.
$\text{B.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{S_2 / \sqrt{n-1}}$.
$\text{C.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{S_3 / \sqrt{n}}$.
$\text{D.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{S_4 / \sqrt{n}}$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_8$ 和 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_{10}$ 分别是来自于正态总体 $N(-1,4)$ 和 $N(2,5)$的样本, 且相互独立, $S_1^2, S_2^2$ 分别为两样本方差, 则服从 $F(7,9)$ 的统计量是
$\text{A.}$ $\frac{2 S_1^2}{5 S_2^2}$.
$\text{B.}$ $\frac{5 S_1^2}{4 S_2^2}$.
$\text{C.}$ $\frac{4 S_2^2}{5 S_1^2}$.
$\text{D.}$ $\frac{5 S_1^2}{2 S_2^2}$.
设 $X_1, \cdots, X_n$ 是简单随机样本, 来自总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 其中 $\mu, \sigma$ 是未知参数, 则以下是统计量的是（）。
$\text{A.}$ $X_1+X_2+\cdots+X_n-n^2 E(\bar{X})$
$\text{B.}$ $X_1+X_2+\cdots+X_n-n \mu$
$\text{C.}$ $\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n \sqrt{S^2}}$
$\text{D.}$ $\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n \sigma}$
设 $X \sim N(0,1), X_1, X_2, \cdots, X_7$ 是来自总体 $X$ 的样本, $\frac{c \sum_{i=1}^4 X_i}{\sqrt{X_5^2+X_5^2+X_7^2}}(c>0)$ 服从 $t(n)$ 分布,则 $(c, n)$ 为
$\text{A.}$ $(\sqrt{3}, 3)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 3\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 4\right)$
$\text{D.}$ $(\sqrt{3}, 2)$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geqslant 2)$ 为来自总体 $X \sim N(0,1)$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 为样本均值, $S^2$ 为样本方差，则
$\text{A.}$ $n \bar{X} \sim N(0,1)$
$\text{B.}$ $n S^2 \sim \chi^2(n)$
$\text{C.}$ $\frac{(n-1) \bar{X}}{S} \sim t(n-1)$
$\text{D.}$ $\frac{(n-1) X_1^2}{\sum_{i=2}^n X_i^2} \sim F(1, n-1)$
从总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 中取样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n>1)$, 均值为 $\bar{X}$, 下面错误的是
$\text{A.}$ $\frac{n \bar{X}-n \mu}{\sigma \sqrt{n}} \sim N(0,1)$
$\text{B.}$ $\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$
$\text{C.}$ $\frac{X_n-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$
$\text{D.}$ $\frac{X_1-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$
已知总体 $X$ 的期望 $E X=0$ ，方差 $D X=\sigma^2$ ，从总体 $X$ 中抽取容量为 $n$ 的简单随机样本，其样本均值，样本方差分别为 $\bar{X}, S^2$ ．记 $S_k^2=\frac{n}{k} \bar{X}^2+\frac{1}{k} S^2(k=1,2,3,4)$ ，则（ ）．
$\text{A.}$ $E\left(S_1^2\right)=\sigma^2$
$\text{B.}$ $E\left(S_2^2\right)=\sigma^2$
$\text{C.}$ $E\left(S_3^2\right)=\sigma^2$
$\text{D.}$ $E\left(S_4^2\right)=\sigma^2$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{15}$ 是来自正态总体 $N(0,9)$ 的简单随机样本，则统计量
$$
Y=\frac{1}{2} \frac{X_1^2+X_2^2+\cdots+X_{10}^2}{X_{11}^2+X_{12}^2+\cdots+X_{15}^2}
$$
服从（ ）。
$\text{A.}$ $t(10)$
$\text{B.}$ $t(15)$
$\text{C.}$ $F(10,5)$
$\text{D.}$ $F(5,10)$
设 $X \sim N(a, 2), Y \sim N(b, 2)$ 且 $X, Y$ 独立，分别在 $X 、 Y$ 中取容量为 $m$ 和 $n$ 的简单随机样本，样本方差分别记为 $S_X^2$ 和 $S_Y^2$ ，则 $T=\frac{1}{2}\left[(m-1) S_X^2+(n-1) S_Y^2\right]$ 服从（ ）分布。
$\text{A.}$ $t(m+n-2)$
$\text{B.}$ $F(m-1, n-1)$
$\text{C.}$ $\chi^2(m+n-2)$
$\text{D.}$ $t(m+n)$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 是样本均值，记
$$
\begin{array}{ll}
S_1^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, & S_2^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, \\
S_3^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2, & S_4^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2,
\end{array}
$$
则服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布的随机变量是（ ）。
$\text{A.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\overline{S_1}}{\sqrt{n-1}}}$
$\text{B.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S_2}{\sqrt{n-1}}}$
$\text{C.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S_3}{\sqrt{n}}}$
$\text{D.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S_4}{\sqrt{n}}}$ ．
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 是样本均值，记
$$
\begin{array}{ll}
S_1^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, & S_2^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, \\
S_3^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2, & S_4^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2,
\end{array}
$$
则服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布的随机变量是（ ）．
$\text{A.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S_1}{\sqrt{n-1}}}$
$\text{B.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S_2}{\sqrt{n-1}}}$
$\text{C.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S_3}{\sqrt{n}}}$
$\text{D.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S_4}{\sqrt{n}}}$ ．
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为总体 $X \sim N (0,1)$ 的一个样本， $\bar{X}$ 与 $S^2$ 分别为样本均值与样本方差，则（ ）成立．
$\text{A.}$ $\bar{X} \sim N (0,1)$
$\text{B.}$ $\sqrt{n} \bar{X} \sim N (0,1)$
$\text{C.}$ $\sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2 (2 n)$
$\text{D.}$ $\bar{x} / S \sim t (n-1)$
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 都服从标准正态分布，则（ ）
$\text{A.}$ $X+Y$ 服从正态分布
$\text{B.}$ $X^2+Y^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{C.}$ $X^2$ 和 $Y^2$ 都服从 $\chi^2$ 分布
$\text{D.}$ $X^2 / Y^2$ 服从 $F$ 分布
设 $X_1, X_2, \cdots, X_6$ 是总体 $N \mu, \sigma^2$ 的样本，$S^2$ 是样本方差，则 $D S^2=()$ ．
$\text{A.}$ $\frac{1}{5} \sigma^2$
$\text{B.}$ $\frac{1}{5} \sigma^4$
$\text{C.}$ $\frac{2}{5} \sigma^2$
$\text{D.}$ $\frac{5}{18} \sigma^4$