单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布, 简单样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 来自该总体, $\bar{X}, S^2$ 分别是样本均值和样本方差，则以下不能作为未知参数 $\lambda$ 的矩估计量的是
$\text{A.}$ $\bar{X}$
$\text{B.}$ $S^2$
$\text{C.}$ $S$
$\text{D.}$ $\frac{-1+\sqrt{1+\frac{4}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2}}{2}$
设简单样本 $X_1, \cdots, X_n$ 来自标准正态分布, $\bar{X}, S^2$ 分别是样本均值和样本方差, 则以下选项正确的是（）。
$\text{A.}$ $\bar{X} \sim N(0,1)$
$\text{B.}$ $\bar{X}^2$ 服从卡方分布
$\text{C.}$ $S^2$ 服从卡方分布
$\text{D.}$ $\frac{n \bar{X}^2}{S^2}$ 服从 $F$ 分布
设 $f(x)$ 是连续型随机变量 $X$ 的概率密度, $F(x)$ 为其分布函数, 则
$\text{A.}$ $0 \leqslant f(x) \leqslant 1$
$\text{B.}$ $P\{X=x\} \leqslant F(x)$
$\text{C.}$ $P\{X=x\}=F^{\prime}(x)$
$\text{D.}$ $P\{X=x\}=f(x)$
设 $F(x)$ 是随机变量 $X$ 的分布函数, 则下列函数中一定不是分布函数的是( ).
$\text{A.}$ $F^2(x)$
$\text{B.}$ $F^3(x)$
$\text{C.}$ $F(2 x)$
$\text{D.}$ $2 F(x)$
下列函数中, 可以作为连续型随机变量概率密度的是 ( ).
$\text{A.}$ $f_1(x)= \begin{cases}\sin x, & 0 \leqslant x < \frac{\pi}{2}, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
$\text{B.}$ $f_2(x)= \begin{cases}\sin x, & -\frac{\pi}{2} \leqslant x < 0, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
$\text{C.}$ $f_3(x)= \begin{cases}\sin x, & 0 \leqslant x < \pi, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
$\text{D.}$ $f_4(x)= \begin{cases}1-\sin x, & 0 \leqslant x < \frac{\pi}{2}, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
设随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)= \begin{cases}0, & x < 0, \\ \frac{1}{2}, & 0 \leqslant x < 1 \text {, 则 } P\{X=1\}=(\quad) . \\ 1- e ^{-x}, & x \geqslant 1,\end{cases}$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}- e ^{-1}$
$\text{D.}$ $1- e ^{-1}$
已知离散型随机变量 $X$ 的分布律为 $P\{X=k\}=p^{k+1}(k=0,1)$, 则 $p=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
设 $f_1(x)$ 为标准正态分布的概率密度, $f_2(x)$ 为 $[-1,3]$ 上均匀分布的概率密度, 若
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
a f_1(x), & x \leqslant 0, \\
b f_2(x), & x>0
\end{array},(a>0, b>0)\right.
$$
为概率密度, 则 $a, b$ 应满足
$\text{A.}$ $2 a+3 b=4$
$\text{B.}$ $3 a+2 b=4$
$\text{C.}$ $a+b=1$
$\text{D.}$ $a+b=2$
设随机变量 $X$ 的分布函数与概率密度分别为 $F(x), f(x)$, 且对于任意实数 $x, F(x) \neq 1$, 则下列反常积分中，发散的是（）
$\text{A.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{f(x)}{\sqrt{1+F^2(x)}} d x$.
$\text{B.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{f(x)}{\sqrt{1-F^2(x)}} d x$.
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{f(x)}{1+F^2(x)} d x$.
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{f(x)}{1-F^2(x)} d x$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 均服从正态分布, $X \sim N\left(\mu, 4^2\right), Y \sim N\left(\mu, 5^2\right)$, 而 $p_1=P(X \leq \mu-4)$, $p_2=P(Y \geq \mu+5)$, 则
$\text{A.}$ $p_1=p_2$
$\text{B.}$ $p_1 < p_2$
$\text{C.}$ $p_1>p_2$
$\text{D.}$ 当 $\mu=0$, 才有 $p_1=p_2$
设随机变量 $X$ 服从区间 $[0,2]$ 上的均匀分布, 若 $P\left(X^2 \leq a\right)=\frac{1}{4}$, 则 $a=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\text{D.}$ 1.
$X \sim N(0,4)$, 则 $P(X < 1)=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $\int_0^1 \frac{1}{2 \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{8}} d x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \frac{1}{4} e^{-\frac{x^2}{4}} d x$
$\text{C.}$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}}$
$\text{D.}$ $\int_{-\infty}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} d x$
某人向同一目标独立重复射击，每次命中目标的概率为 $p(0 < p < 1)$ ，则此人第 4 次射击恰好第二次命中目标的概率为（ ）。
$\text{A.}$ $3 p(1-p)^2$
$\text{B.}$ $6 p(1-p)^2$
$\text{C.}$ $3 p^2(1-p)^2$
$\text{D.}$ $6 p^2(1-p)^2$
设 $F_1(x), F_2(x)$ 是随机变量的分布函数，$f_1(x), f_2(x)$ 是相应的概率密度，则 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $F_1(x)+F_2(x)$ 是分布函数
$\text{B.}$ $F_1(x) \cdot F_2(x)$ 是分布函数
$\text{C.}$ $f_1(x)+f_2(x)$ 是概率密度
$\text{D.}$ $f_1(x) \cdot f_2(x)$ 是概率密度
通过某交叉路口的汽车流可以看作服从泊松分布．已知在 1 分钟内有汽车通过的概率为 0.7 ，则 1 分钟内最多有 1 辆汽车通过的概率为（ ）。
$\text{A.}$ $0.7(1-\ln 0.7)$
$\text{B.}$ $0.3(1-\ln 0.7)$
$\text{C.}$ $0.3(1-\ln 0.3)$
$\text{D.}$ $0.7(1-\ln 0.3)$
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0,1)$ ，对给定的 $\alpha(0 < \alpha < 1)$ ，数 $u_\alpha$ 满足 $P\left\{X>u_\alpha\right\}=\alpha$ ，若 $P\{|X| < x\}=\alpha$ ，则 $x$ 等于（ ）．
$\text{A.}$ $u_{\frac{\alpha}{2}}$
$\text{B.}$ $u_{1-\frac{\alpha}{2}}$
$\text{C.}$ $u_{\frac{1-\alpha}{2}}$
$\text{D.}$ $u_{1-\alpha}$
当 $X$ 服从（ ）分布时，$E X=D X$ 。
$\text{A.}$ 指数
$\text{B.}$ 泊松
$\text{C.}$ 正态
$\text{D.}$ 均匀
设离散型随机变量 $X$ 的分布律为：$P\{X=k\}=b \lambda^k,(k=1,2,3, \cdots)$ 且 $b>0$ ，则 $\lambda$ 为（ ）。
$\text{A.}$ $\lambda>0$ 的任意实数
$\text{B.}$ $\lambda=b+1$
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{1}{1+b}$
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{1}{b-1}$
当随机变量的可能值充满区间（ ），则 $\varphi(x)=\cos x$ 可以成为随机变量 $X$ 的分布密度．
$\text{A.}$ $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$
$\text{C.}$ $[0, \pi]$
$\text{D.}$ $\left[\frac{3}{2} \pi, \frac{7}{4} \pi\right]$
设 $f_1(x)$ 为标准正态分布的概率密度，$f_2(x)$ 为 $[-1,3]$ 上均匀分布的概率密度，若
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
a f_1(x), & x \leqslant 0, \\
b f_2(x), & x>0
\end{array} \quad(a>0, b>0)\right.
$$
为概率密度，则 $a, b$ 应满足
$\text{A.}$ $2 a+3 b=4$
$\text{B.}$ $3 a+2 b=4$
$\text{C.}$ $a+b=1$
$\text{D.}$ $a+b=2$