单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=5 x_1{ }^2+6 x_2{ }^2+4 x_3{ }^2-4 x_1 x_2-4 x_1 x_3$, 则下列正确的是
$\text{A.}$ $f$ 是正定
$\text{B.}$ $f$ 是负定
$\text{C.}$ $ f$ 即不是正定, 也不是负定
$\text{D.}$ $f$ 的秩等于1
下列说法中正确的是
$\text{A.}$ 若 3 个 3 维列向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 两两正交, 则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关
$\text{B.}$ 若 3 个 3 维列向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关, 则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 两两正交
$\text{C.}$ 若 3 个 2 维列向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 两两正交, 则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 中至少一个为 0
$\text{D.}$ 若 3 个 2 维列向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 两两正交, 则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 中只能有一个为 0
$n$ 阶方降 $A$ 能与对角矩阵相似的充分必要条件是
$\text{A.}$ $A$ 具有 $n$ 个线性无关的特征向量
$\text{B.}$ $A$ 的 $n$ 个特征值互不相等
$\text{C.}$ $A$ 是实对称矩阵
$\text{D.}$ $A$ 的特征向量两两正交
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+2 x_1 x_2+2 x_2 x_3+2 x_1 x_3$ 的正负惯性指数分别为 1,2 , 则
$\text{A.}$ $a>1$.
$\text{B.}$ $a < -2$.
$\text{C.}$ $-2 < a < 1$.
$\text{D.}$ $a=1$ 或 $a=-2$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $x = P y$ 下的标准形为 $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$, 其中 $P =$ $\left(e_1, e_2, e_3\right)$, 若 $Q=\left( e _1,- e _3, e _2\right)$, 则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 在正交变换 $x = Q y$ 下的标准形为
$\text{A.}$ $2 y_1^2-y_2^2+y_3^2$.
$\text{B.}$ $2 y_1^2+y_2^2-y_3^2$.
$\text{C.}$ $2 y_1^2-y_2^2-y_3^2$.
$\text{D.}$ $2 y_1^2+y_2^2+y_3^2$.
设 $A$ 是 3 阶实对称矩阵, $E$ 是 3 阶单位矩阵. 若 $A ^2+ A =2 E$, 且 $| A |=4$, 则二次型 $x ^{ T } A x$ 的规范形为
$\text{A.}$ $y_1^2+y_2^2+y_3^2$.
$\text{B.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$.
$\text{C.}$ $y_1^2-y_2^2-y_3^2$.
$\text{D.}$ $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$.
设 $A =\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{llll}4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$, 则 $A$ 与 $B$
$\text{A.}$ 合同且相似.
$\text{B.}$ 合同但不相似.
$\text{C.}$ 不合同但相似.
$\text{D.}$ 不合同且不相似.
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$, 则 $A$ 与 $B$
$\text{A.}$ 合同，且相似。
$\text{B.}$ 合同，但不相似.
$\text{C.}$ 不合同, 但相似.
$\text{D.}$ 既不合同，也不相似.
判断下列矩阵是否是正定矩阵
(1) $A =\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right)$;
(2) $A =\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 2\end{array}\right)$.
$\text{A.}$ (1)是 , (2)不是
$\text{B.}$ (1)是 , (2)是
$\text{C.}$ (1)不是 , (2)是
$\text{D.}$ (1)不是 , (2)不是
已知 3 阶矩阵 $A$ 与对角阵相似, 相似变换矩阵为 $P$, 且 $P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right), P$ 按列分块为 $P=\left(p_1, p_2, p_3\right)$, 设 $Q=\left(2 p_3, p_1, p_1+p_2\right)$, 则 $Q^{-1} A Q=$.
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$;
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$;
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$;
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$.
设 $A$ 是 3 阶矩阵， 0 是 $A$ 的单特征值， $\alpha$ 是满足 $A \alpha= 0$ 的非零向量. 若对满足 $\beta^{ T } \alpha=0$ 的 3维列向量 $\beta$ ，均有 $A ^2 \beta=\beta$ ，则（）
$\text{A.}$ $A ， A ^2$ 均能相似对角化.
$\text{B.}$ $A$ 不能相似对角化， $A ^2$ 能相似对角化.
$\text{C.}$ $A$ 能相似对角化， $A ^2$ 不能相似对角化.
$\text{D.}$ $A ， A ^2$ 均不能相似对角化.
设二次型 $f(x, y, z)=(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2$, 其对应的对称矩阵为 $A$. 在自然基 $e_1, e_2$, $e _3$ 下, 二次曲面 $S$ 的曲面方程为 $f(x, y, z)=3$ 。该曲面方程在正交变换 $\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)= Q \left(\begin{array}{l}u \\ v \\ w\end{array}\right)$ 下化为 $\lambda_1 u^2+\lambda_2 v^2+\lambda_3 w^2=3$, 其中 $\lambda_1 \geqslant \lambda_2 \geqslant \lambda_3$. 该变换将 $e _1, e _2, e _3$ 分别变为 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$. 下列命题中,正确的是（）
$\text{A.}$ $\left( e _1, e _2, e _3\right)=\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right) Q$.
$\text{B.}$ $S$ 为柱面, 在原坐标系下, $S$ 的母线的单位方向向量坐标为 $\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0)^{ T }$.
$\text{C.}$ $S$ 为柱面, 在原坐标系下, $S$ 的母线的单位方向向量坐标为 $\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1)^{ T }$.
$\text{D.}$ $S$ 为柱面, 在原坐标系下, $S$ 的母线的单位方向向量坐标为 $\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^{ T }$.
设 $A$ 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ）
$\text{A.}$ $\left| A ^2\right|$必为 $1$
$\text{B.}$ $| A |$ 必为 1
$\text{C.}$ $A ^{-1}= A ^{ T }$
$\text{D.}$ $A$ 的行（列）向量组是正交单位向量组
设 $A$ 是实对称矩阵， $C$ 是实可逆矩阵， $B = C ^{ T } A C$ ．则（）
$\text{A.}$ $A$ 与 $B$ 相似
$\text{B.}$ $A$ 与 $B$ 不等价
$\text{C.}$ A 与 B 有相同的特征值
$\text{D.}$ $A$ 与 $B$ 合同
下列矩阵中是正定矩阵的为（ ）
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 3 & 4\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ll}3 & 4 \\ 2 & 6\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -3 \\ 0 & -3 & 5\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right)$
设 $A =\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则下列矩阵中与 $A$ 合同的是 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$
设 $A=\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{llll}4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则矩阵 $A$ 和$B$
$\text{A.}$ 合同且相似
$\text{B.}$ 合同但不相似
$\text{C.}$ 不合同但相似
$\text{D.}$ 不合同也不相似
与矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right)$ 合同的矩阵是（ ）。
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & -1 & \\ & & -1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & -1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & -1 & \\ & & 0\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 0\end{array}\right)$ ．
与矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 0 \\ 2 & 0 & 2\end{array}\right)$ 既相似又合同的矩阵是（ ）
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & -1 & \\ & & 0\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & & \\ & -3 & \\ & & 0\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}3 & & \\ & -4 & \\ & & 0\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}4 & & \\ & -3 & \\ & & 0\end{array}\right)$
设 $A$ 是 3 阶实对称矩阵，$E$ 是 3 阶单位矩阵，若 $A^2+A=2 E$ ，且 $|A|=4$ ，则二次型 $x^T A x$ 的规范形为（ ）
$\text{A.}$ $y_1^2+y_2^2+y_3^2$
$\text{B.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$
$\text{C.}$ $y_1^2-y_2^2-y_3^2$
$\text{D.}$ $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$