单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow \infty$ 时, $\left(1-\frac{1}{x}\right)^x$ 的极限为 ( )。
$\text{A.}$ $e$
$\text{B.}$ $\frac{1}{e}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 不存在
$x=0$ 是函数 $f(x)=\frac{\arctan x}{x}$ 的
$\text{A.}$ 连续点;
$\text{B.}$ 可去间断点;
$\text{C.}$ 跳跃间断点;
$\text{D.}$ 无穷间断
设对任意的 $x$, 总有 $\varphi(x) \leq f(x) \leq g(x)$, 且 $\lim _{x \rightarrow \infty}|g(x)-\varphi(x)|=0$ 则 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$
$\text{A.}$ 存在且等于零
$\text{B.}$ 存在但不等于零
$\text{C.}$ 一定不存在
$\text{D.}$ 不一定存在
设 $\sin x^n\left(\sqrt{1+x^2}-1\right)+1$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, $g(x)=k \int_0^x\left( e ^{t^2}-1\right) d t$, 若 $x \rightarrow 0$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小, 则
$\text{A.}$ $k=6, n=2$
$\text{B.}$ $k=4, n=2$
$\text{C.}$ $k=6, n=3$
$\text{D.}$ $k=4, n=3$
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有定义, 且 $\lim _{x \rightarrow \infty}=a, g(x)=\left\{\begin{array}{l}f\left(\frac{1}{x}\right), x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$, 则 ( )。
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $g(x)$ 的第一类间断点
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $g(x)$ 的第二类间断点
$\text{C.}$ $g(x)$ 在 $x=0$ 的连续性与 $a$ 相关
$\text{D.}$ $g(x)$ 在 $x=0$ 的连续
设实数数列 $\left\{a_n\right\}$, 给出以下四个命题:
1) 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=A$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin a_n=\sin A$.
2) 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin a_n=\sin A$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=A$.
3) 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=A$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} e^{a_n}=e^A$.
4) 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} e^{a_n}=e^A$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=A$.
其中真命题的个数是
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
$\text{E.}$ 4
设数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上可导，则（ ）．
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在
设 $f(x)$ 在 $R$ 上连续，且 $f(x) \neq 0, \varphi(x)$ 在 $R$ 上有定义，且有间断点，则下列陈述中哪些是对的？
$\text{A.}$ $\varphi[f(x)]$ 必有间断点；
$\text{B.}$ $[\varphi(x)]^2$ 必有间断点；
$\text{C.}$ $f[\varphi(x)]$ 未必有间断点；
$\text{D.}$ $\frac{\varphi(x)}{f(x)}$ 没有间断点；
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2, & x \leqslant 0, \\ x^2+x, & x>0 .\end{array}\right.$ 则（ ）
$\text{A.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}-x^2, & x \leqslant 0, \\ -\left(x^2+x\right), & x>0 .\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}-\left(x^2+x\right), & x < 0, \\ -x^2, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2, & x \leqslant 0, \\ x^2-x, & x>0 .\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2-x, & x < 0, \\ x^2, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.$
设函数 $f(x)=x \cdot \tan x \cdot e^{\sin x}$ ，则 $f(x)$ 是（ ）
$\text{A.}$ 偶函数
$\text{B.}$ 无界函数
$\text{C.}$ 周期函数
$\text{D.}$ 单调函数
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $u_n=\sum_{k=1}^n \frac{k}{(n+k)(n+k+1)}$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{2 n} \frac{i-1}{n^3} \sin \left(\frac{\pi i}{n}\right) \cdot \sqrt{1-\sin \frac{2 \pi j}{n}}=$
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\sin x}$;
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}\right)^{\tan x}$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x-\sin x+\ln (1+x)}{x \sin ^2 x}$ 。
求极限$ \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\ln \left(1+\sin ^2 x\right)}-\frac{1}{\ln \left(1+x^2\right)}\right]$