单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
设二元函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的某领域内存在连续的二阶偏导数 $f_x^{\prime} 、 f_{x y}^{\prime \prime} 、 f_{y y}^{\prime \prime}$,且点 $\left(x_0, y_0\right)$ 是驻点, 当 $f_{x y}^{\prime 2}\left(x_0, y_0\right) < f_{y y}^{\prime \prime}\left(x_0, y_0\right) f_{xx}^{\prime \prime}\left(x_0, y_0\right)$, 且 $f_{y y}^{\prime}\left(x_0, y_0\right) < 0$ 时,下列结论正确的是
$\text{A.}$ $f\left(x_0, y_0\right)$ 不是极值
$\text{B.}$ $f\left(x_0, y_0\right)$ 是极小值
$\text{C.}$ $f\left(x_0, y_0\right)$ 是极大值
$\text{D.}$ 不能判断 $f\left(x_0, y_0\right)$ 是否为极值
若函数 $z=f(u)$ 二阶可导, 且 $u =3 e^y+2 x$, 则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
$\text{A.}$ $6 x f''$
$\text{B.}$ $6 e^y f^{''}$
$\text{C.}$ $3 e^y f^{''}$
$\text{D.}$ $2 f''$
已知函数 $f(u)$ 可导且 $f^{\prime}(0)=2$, 设 $z=f\left(\arctan \frac{x}{y}\right)$, 则 $z=\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,2)}$ 与 $z=\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(0,2)}$ 的值依次为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}, \frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ 1,0.
$\text{D.}$ 2,0 .
$\text{E.}$ $1,-1$.
已知 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 16\right\}, f(x, y)=x^2-y^2+\frac{1}{3} y^3$, 则 $f(x, y)$ 在 D 上的
$\text{A.}$ 最大值为 16 , 最小值为 0 .
$\text{B.}$ 最大值为 16 , 最小值为 $-\frac{4}{3}$.
$\text{C.}$ 最大值为 16 , 最小值为 $-\frac{112}{3}$.
$\text{D.}$ 最大值为 18 , 最小值为 $-\frac{112}{3}$.
$\text{E.}$ 最大值为 18 , 最小值为 -38 .
已知函数 $f(x, y)=x^2 y+2 x y+\frac{1}{3} y^2$, 则
$\text{A.}$ $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极值点.
$\text{B.}$ $(1,-1)$ 是 $f(x, y)$ 的极值点.
$\text{C.}$ $(-2,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极值点.
$\text{D.}$ $(-1,1)$ 是 $f(x, y)$ 的最大极值点.
$\text{E.}$ 由 $f(x, y)=x^2 y+2 x y+\frac{1}{3} y^3$
已知 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续, 且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f( x , y)-x^k y}{\left(x^2+y^2\right)^2}=1$, 则
$\text{A.}$ $k=1$ 时, $(0,0)$ 是极小值点.
$\text{B.}$ $k=2$ 时, $(0,0)$ 是极大值点.
$\text{C.}$ $k=3$ 时, $(0,0)$ 是极小值点.
$\text{D.}$ $k=4$ 时, $(0,0)$ 是极大值点.
设函数 $z=f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数, 且满足等式 $9 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=0$. 若变换 $\left\{\begin{array}{l}u=x-3 y, \\ v=x+a y\end{array}\right.$ 可把上述等式化简为 $\frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}=0$, 则常数 $a=$
$\text{A.}$ -3 .
$\text{B.}$ -2 .
$\text{C.}$ 2 .
$\text{D.}$ 3 .
设函数 $u=u(x, y)$ 具有二阶连续偏导数, 函数 $F(s, t)$ 具有一阶连续偏导数, 且 $\left(\frac{\partial F}{\partial s}\right)^2+\left(\frac{\partial F}{\partial t}\right)^2 \neq$ $0, F\left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}\right)=0$, 则有
$\text{A.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\right)^2$.
$\text{B.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=-\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\right)^2$.
$\text{C.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\right)^2$.
$\text{D.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\right)^2$.
设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数, 且 $f^{\prime}(0)=0$, 则函数 $F(x, y)= e ^{-x^2} f(y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极 * 小值的一个充分条件为
$\text{A.}$ $f(0) < 0, f^{\prime \prime}(0) < 0$.
$\text{B.}$ $f(0) < 0, f^{\prime \prime}(0)>0$.
$\text{C.}$ $f(0)>0, f^{\prime \prime}(0) < 0$.
$\text{D.}$ $f(0)>0, f^{\prime \prime}(0)>0$.
设 $z=f(x, v), v=v(x, y)$ 其中 $f, v$ 具有二阶连续偏导数. 则 $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\frac{\partial^2 f}{\partial v \partial y} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}$;
$\text{B.}$ $\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}$;
$\text{C.}$ $\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2+\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}$;
$\text{D.}$ $\frac{\partial^2 f}{\partial v^2} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}$.
曲面 $x y z=a^3(a>0)$ 的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积 $V =$
$\text{A.}$ $\frac{3}{2} a^3$;
$\text{B.}$ $3 a^3$;
$\text{C.}$ $\frac{9}{2} a^3$;
$\text{D.}$ $6 a^3$.
2．已知函数 $f(x, y)$ 有二阶连续偏导数，满足 $f_{11}^{\prime \prime}\left(f_2^{\prime}\right)^2-2 f_{12}^{\prime \prime} f_1^{\prime} f_2^{\prime}+\left(f_1^{\prime}\right)^2 f_{22}^{\prime \prime}=-\left(f_1^{\prime}\right)^3$ ，其中 $f_1^{\prime} \neq 0$ ，方程 $z=f(x, y)$ 确定隐函数 $x=x(y, z)$ ，则 $\frac{\partial^2 x}{\partial y^2}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -2
设二元函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处有定义，则下列说法中，正确的是 $(\quad)$
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f\left(x, y_0\right), \lim _{y \rightarrow y_0} f\left(x_0, y\right)$ 均存在，则 $\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)$ 存在．
$\text{B.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f\left(x, y_0\right), \lim _{y \rightarrow y_0} f\left(x_0, y\right)$ 均存在，则 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right), f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$ 均存在．
$\text{C.}$ 若 $\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)$ 存在，则 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right), f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$ 均存在．
$\text{D.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right), f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$ 均存在，则 $\lim _{x \rightarrow x_0} f\left(x, y_0\right), \lim _{y \rightarrow y_0} f\left(x_0, y\right)$ 均存在．
设 $f_1(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{y^2-x y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}, & x \neq y, \\ 0, & x=y,\end{array} f_2(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2 y}{x^4+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.\right.$ 则
$\text{A.}$ $f_1(x, y), f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处均连续．
$\text{B.}$ $f_1(x, y), f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处均不连续．
$\text{C.}$ $f_1(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，$f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续．
$\text{D.}$ $f_1(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续，$f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续．
设有三元方程 $x \arctan x+\frac{\ln x}{\ln y}+z e ^{\sin z}=\frac{\pi}{4}$ ，根据隐函数存在定理，存在点 $(1, e , 0)$ 的一个邻域，在此邻域内该方程（ ）
$\text{A.}$ 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 $z=z(x, y)$ ．
$\text{B.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $y=y(x, z)$ 和 $z=z(x, y)$ ．
$\text{C.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $z=z(x, y)$ ．
$\text{D.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $y=y(x, z)$ ．
设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $f(x)>0, f^{\prime}(0)=0$ ，则函数 $z(x, y)=f(x)^{f(y)}$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值的一个充分条件是（ ）
．
$\text{A.}$ $f(0) < 1, f^{\prime \prime}(0) < 0$ ．
$\text{B.}$ $f(0)>1, f^{\prime \prime}(0) < 0$ ．
$\text{C.}$ $ f(0) < 1, f^{\prime \prime}(0)>0$
$\text{D.}$ $f(0)>1, f^{\prime \prime}(0)>0$ ．
设正值函数 $f(x, y, z)$ 与 $g(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处的各个偏导数均存在且连续，$f(0,0,0)=$ $g(0,0,0)=1, f(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处沿方向 $n$ 的方向导数 $\left.\frac{\partial f}{\partial n }\right|_{(0,0,0)}=1, g(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处沿方向 $n$ 的方向导数 $\left.\frac{\partial g}{\partial n }\right|_{(0,0,0)}=2$ ，则 $\left.\frac{\partial\left(\frac{1}{f}+\frac{1}{g}\right)}{\partial n }\right|_{(0,0,0)}=$
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ 3 ．
$\text{C.}$ -1 ．
$\text{D.}$ -3 ．
设函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的邻域内有定义，且 $f_x^{\prime}(0,0)=3, f_y^{\prime}(0,0)=1$ ，方向向量 $\vec{l}=(1,1)$ ，则必有
$\text{A.}$ $\left. d f(x, y)\right|_{(0,0)}=3 d x+ d y$
$\text{B.}$ $\left.\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}\right|_{(0,0)}=3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ 上述两个答案都错
$\text{D.}$ 上述两个答案都对
已知二元函数 $f(x, y)=\frac{ e ^x}{x-y}$ ，下列式子正确的是（ ）
$\text{A.}$ $f_x^{\prime}+f_y^{\prime}=0$
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}+f_y^{\prime}=f$
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}-f_y^{\prime}=0$
$\text{D.}$ $f_x^{\prime}-f_y^{\prime}=f$
设函数 $u(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，在 $D$ 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \neq 0$ 及 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$ ，则（ ）。
$\text{A.}$ $u(x, y)$ 的最大值和最小值都在 $D$ 的边界上取到
$\text{B.}$ $u(x, y)$ 的最大值和最小值都在 $D$ 的内部取到
$\text{C.}$ $u(x, y)$ 的最大值在 $D$ 的内部取到，最小值在 $D$ 的边界上取到
$\text{D.}$ $u(x, y)$ 的最小值在 $D$ 的内部取到，最大值在 $D$ 的边界上取到