单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
设有直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x-y-4 z+1=0 \\ x+y-3=0\end{array}\right.$, 曲面 $z=x^2-y^2+z^2$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切平面П, 则 直线 $L$ 与平面 $\Pi$ 的位置关系是:
$\text{A.}$ $L \subset \Pi$
$\text{B.}$ $L / / \Pi$
$\text{C.}$ $L \perp \Pi$
$\text{D.}$ $L$ 与 斜交
直线 $L: \frac{x}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{7}$ 和平面 $\pi: 3 x-2 y+7 z-8=0$ 的位置关系是
$\text{A.}$ 直线 $L$ 平行于平面 $\pi$
$\text{B.}$ 直线 $L$ 在平面 $\pi$ 上
$\text{C.}$ 直线 $L$ 垂直于平面 $\pi$
$\text{D.}$ 直线 $L$ 与平面 $\pi$ 斜交
设 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处可微, 且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ y \rightarrow 1}} \frac{f(x, y)-f(1,1)-2 x-y+3}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}}=0$, 则 $z=f(x, y)$ 在 $(1,1)$ 点 沿 $\boldsymbol{l}=\{1,2\}$ 方向的方向导数为
$\text{A.}$ $-\frac{4}{\sqrt{5}}$
$\text{B.}$ $\frac{4}{\sqrt{5}}$
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 1
设向量组 ( I): $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ 均为 4 维列向量, $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5\right)$, 若 $\eta_1=(-1,1,0,0,0)$, $\eta_2=(0,1,3,1,0), \quad \eta_3=(1,0,5,1,1)^{\mathrm{T}}$ 是齐次方程组 $A X=0$ 的一个基础解系, 则向量组 ( I) 的一个极大无关组 是 $\left(\begin{array}{l}\text { 。 }\end{array}\right.$
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2$
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_4$
$\text{C.}$ $\alpha_3, \alpha_5$
$\text{D.}$ $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$
原点关于直线 $\frac{x}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-4}{-2}$ 的对称点为
$\text{A.}$ $(-4,0,4)$
$\text{B.}$ $(4,0,4)$
$\text{C.}$ $(-4,0,-4)$
$\text{D.}$ $(4,0,-4)$
点 $M(1,0,-1)$ 到直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x-y-z+1=0, \\ x+y-2 z=0\end{array}\right.$ 的距离为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}}$
$\text{B.}$ $\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{14}}$
$\text{C.}$ $\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{14}}$
$\text{D.}$ $\frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{14}}$
已知曲面 $z=4-x^2-y^2$ 上点 $P$ 处的切平面平行于平面 $2 x+2 y+z-1=0$, 则点 $P$ 的坐标是
$\text{A.}$ $(1,-1,2)$
$\text{B.}$ $(-1,1,2)$
$\text{C.}$ $(1,1,2)$
$\text{D.}$ $(-1,-1,2)$
设直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+3 y+2 z+5=0 \\ 2 x-y-10 z-12=0\end{array}\right.$ 及平面 $\pi: \quad 4 x-2 y+z-6=0$, 则直线 $L$
$\text{A.}$ 平行于平面 $\pi$.
$\text{B.}$ 在平面 $\pi$ 上.
$\text{C.}$ 垂直于平面 $\pi$.
$\text{D.}$ 垂平面 $\pi$ 斜交.
设直线 $l_1: \frac{x-3}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{0}, l_2: \frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z}{1}$.则 $l_1$ 与 $l_2 $
$\text{A.}$ 平行
$\text{B.}$ 垂直
$\text{C.}$ 相交但不垂直.
$\text{D.}$ 异面
曲线 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}-\frac{z^2}{5}=1 \\ x-2 z+3=0\end{array}\right.$, 在 $x O y$ 平面上的投影曲线的方程是
$\text{A.}$ $x^2+20 y^2-24 x-116=0$.
$\text{B.}$ $4 y^2+4 z^2-12 z-7=0$.
$\text{C.}$ $\left\{\begin{array}{l}x^2+20 y^2-24 x-116=0 \\ z=0\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $\left\{\begin{array}{l}4 y^2+4 z^2-12 z-7=0 \\ x=0\end{array}\right.$
双纽线 $\left(x^2+y^2\right)^2=x^2-y^2$ 所围成的区域面积可用定积分表示为
$\text{A.}$ $2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos 2 \theta d \theta$.
$\text{B.}$ $4 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos 2 \theta d \theta$.
$\text{C.}$ $2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\cos 2 \theta} d \theta$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos 2 \theta)^2 d \theta$.
设 $\Sigma$ 为柱面 $x^2+y^2=a^2(0 \leqslant z \leqslant 3)$, 其向外的单位法向量 $n ^{\circ}=\{\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma\}$, 则 $\iint_{\Sigma}(x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma) d S$ 等于
$\text{A.}$ 0 .
$\text{B.}$ $\iint_{\Sigma} z \cos \gamma d S$.
$\text{C.}$ $9 \pi a^2$.
$\text{D.}$ $6 \pi a^2$.
在空间直角坐标系下, 下列曲面方程中为平面方程的是
$\text{A.}$ $y-2 x^2=0$
$\text{B.}$ $x^2+y^2-z+1=0$
$\text{C.}$ $2 x+y+6 z+5=0$
$\text{D.}$ $\sin x-x y=0$
已知 $| a |=2,| b |=\sqrt{2}$ ，且 $a \cdot b =2$ ，则 $| a \times b |=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ 1
下列方程中，表示抛物柱面的是
$\text{A.}$ $z^2=y$
$\text{B.}$ $x^2+z^2=1$
$\text{C.}$ $z=x^2+y^2$
$\text{D.}$ $x^2+y^2-z^2=1$
曲面 $x+y^2-1=0$ 在点 $P(1,0,3)$ 处的法向量为
$\text{A.}$ $(1,0,0)$
$\text{B.}$ $(1,0,3)$
$\text{C.}$ $(1,2,0)$
$\text{D.}$ $(0,0,1)$
设平面 $\Pi$ 在三个坐标轴的截距都是 1 ，那么与平面 $\Pi$ 垂直的直线是
$\text{A.}$ $x+y+z=0$
$\text{B.}$ $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z+3}{1}$
$\text{C.}$ $\frac{x-2}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{1}$
$\text{D.}$ $\left\{\begin{array}{c}x+y+z+1=0 \\ x+z=0\end{array}\right.$
下列曲面方程中，表示柱面的是
$\text{A.}$ $x^2-2 y^2=1$
$\text{B.}$ $x^2+y^2=z$
$\text{C.}$ $x^2-2 y^2=z^2$
$\text{D.}$ $x^2-y^2=z$ ．
设 $\vec{a}, \vec{b}$ 为两个非零向量，$\lambda$ 为非零常数，若向量 $\vec{a}+\lambda \vec{b}$ 与向量 $\vec{b}$ 垂直，则 $\lambda$ 等于（）。
$\text{A.}$ $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}$
$\text{B.}$ $-\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\vec{a} \cdot \vec{b}$
设有直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+3 y+2 z+1=0 \\ 2 x-y-10 z+3=0\end{array}\right.$ 及平面 $\Pi: 4 x-2 y+z-2=0$ ，则直线 $L$（）
$\text{A.}$ 平行于平面
$\text{B.}$ 在平面上
$\text{C.}$ 垂直于平面
$\text{D.}$ 与平面斜交