单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=x^4+\left|x^3\right|$, 则使 $f^{(n)}(0)$ 存在的最高阶数 $n=(\quad)$.
$\text{A.}$ 1 ;
$\text{B.}$ 2 ;
$\text{C.}$ 3 ;
$\text{D.}$ 4.
若 $F(x)=\int_0^x(2 t-x) f(t) d t$, 其中 $f(x)$ 在区间上 $(-1,1)$ 二阶可导且 $f ^{\prime}( x )>0$, 则 ( ).
$\text{A.}$ 函数 $F(x)$ 必在 $x=0$ 处取得极大值;
$\text{B.}$ 函数 $F(x)$ 必在 $x=0$ 处取得极小值;
$\text{C.}$ 函数 $F(x)$ 在 $x=0$ 处没有极值, 但点 $(0, F(0))$ 为曲线 $y=F(x)$ 的拐点;
$\text{D.}$ 函数 $F(x)$ 在 $x=0$ 处没有极值, 点 $(0, F(0))$ 也不是曲线 $y=F(x)$ 的拐点。
函数 $f(x)=x e^x$ 的带有皮亚诺型余项的 $n$ 阶麦克劳林公式为 ( ).
$\text{A.}$ $x e^x=x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o\left(x^n\right)$
$\text{B.}$ $x e^x=x+x^2+\frac{x^3}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{(n-1)!}+o\left(x^n\right)$
$\text{C.}$ $x e^x=x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n}+o\left(x^n\right)$
$\text{D.}$ $x e^x=x+x^2+\frac{x^3}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n-1}+o\left(x^n\right)$
设函数 $f_i(x)(i=1,2)$ 具有二阶连续导数, 且 $f_i^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0(i=1,2)$.若两条曲线 $y=f_i(x)(i=1,2)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处具有公切线 $y=g(x)$, 且该点处曲线 $y=f_1(x)$ 的曲率大于曲线 $y=f_2(x)$ 的曲率, 则在 $x_0$ 的某个邻域内 ，有 ( )
$\text{A.}$ $f_1(x) \leq f_2(x) \leq g(x)$.
$\text{B.}$ $f_2(x) \leq f_1(x) \leq g(x)$.
$\text{C.}$ $f_1(x) \leq g(x) \leq f_2(x)$.
$\text{D.}$ $f_2(x) \leq g(x) \leq f_1(x)$.
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续, 其导函数的图形如图所示, 则
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 有 2 个极值点, 曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点.
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 有 2 个极值点, 曲线 $y=f(x)$ 有 3 个拐点.
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点, 曲线 $y=f(x)$ 有 1 个拐点.
$\text{D.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点.
已知函数 $f(x)=\int_0^x e ^{t^2} \sin t d t, g(x)=\int_0^x e ^{t^2} d t \cdot \sin ^2 x$ ，则 ( ).
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，也是 $g(x)$ 的极值点
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点， $(0,0)$ 是曲线 $y=g(x)$ 的拐点
$\text{C.}$ $(0,0)$ 是 $y=f(x)$ 的拐点， $x=0$ 是 $g(x)$ 的极值点
$\text{D.}$ $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点，也是曲线 $y=g(x)$ 的拐点
设函数 $f(x), g(x)$ 可导, 且 $f^{\prime}(1)=1, f^{\prime}(2)=2, g(1)=a, g^{\prime}(1)=4$, 令 $b=\left.\frac{d f(g(x))}{d x}\right|_{x=1}$, 则
$\text{A.}$ 当 $a=1$ 时,$b=4$.
$\text{B.}$ 当 $a=1$ 时,$b=5$.
$\text{C.}$ 当 $a=1$ 时,$b=8$.
$\text{D.}$ 当 $a=2$ 时,$b=6$.
$\text{E.}$ 当 $a=2$ 时, $b=7$.
设函数 $f(x)$ 二阶导数大于零且 $f(0)=f(2)=0$, 给出以下四个结论:
(1) 当 $x \in(0,2)$ 时, $f(x) < 0$.
(2) 当 $x \in(0,2)$ 时, $2 f(x)>\int_0^2 f(t) d t$.
(3)当 $x \neq 0$ 时, $f(x)>f^{\prime}(0) x$.
(4) 当 $x \neq 2$ 时, $f(x) < f^{\prime}(2)(x-2)$.
其中正确的是
$\text{A.}$ (1)(2).
$\text{B.}$ (1)(3).
$\text{C.}$ (1)(4).
$\text{D.}$ (2)(3).
$\text{E.}$ (2)(4).
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $x=0$ 的某去心邻域内有定义且恒不为零．若当 $x \rightarrow 0$ 时， $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小，则当 $x \rightarrow 0$ 时，（ ）。
$\text{A.}$ $f(x)+g(x)=o(g(x))$
$\text{B.}$ $f(x) g(x)=o\left(f^2(x)\right)$
$\text{C.}$ $f(x)=o\left( e ^{g(x)}-1\right)$
$\text{D.}$ $f(x)=o\left(g^2(x)\right)$
设函数 $f(x)$ 连续，给出下列四个条件：
（1） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-f(0)}{x}$ 存在；
（2） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-|f(0)|}{x}$ 存在；
（3） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|}{x}$ 存在；
（4） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-|f(0)|}{x}$ 存在；
其中能得到＂$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导＂的条件个数是（ ）。
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $f(0)=0$ ，则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导的充要条件是
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^2} f(1-\cos h)$ 存在
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} f\left(1- e ^h\right)$ 存在
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^2} f(h-\sin h)$ 存在
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(2 h)-f(h)}{h}$ 存在
设 $f(x)=\left(x^2-2 x-3\right)\left|x^3-x\right|$ 的不可导点的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $f(x)$ 可导，令 $F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$ ，则 $f(0)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导的
$\text{A.}$ 充分而非必要条件
$\text{B.}$ 必要而非充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件。处可导的充要条件 $F_{-}^{\prime}(0)=F_{+}^{\prime}(0)$ ．
设有方程 $x f^{\prime \prime}(x)+3 x\left[f^{\prime}(x)\right]^2=1- e ^{-x}, f^{\prime}\left(x_0\right)=0\left(x_0 \neq 0\right)$ ，则
$\text{A.}$ $f\left(x_0\right)$ 为 $f(x)$ 的极大值
$\text{B.}$ $f\left(x_0\right)$ 为 $f(x)$ 的极小值
$\text{C.}$ $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 为 $f(x)$ 的图形的拐点
$\text{D.}$ $f\left(x_0\right)$ 不是极值，$\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 也不是拐点
设 $f(x)$ 在点 $x=0$ 的邻域内具有二阶连续导数，$f^{\prime}(0)=f^{\prime \prime}(0)=0$ ，则 $f(x) $ ．
$\text{A.}$ $x=0$ 必为 $f(x)$ 的零值点
$\text{B.}$ $x=0$ 必为 $f(x)$ 的极值点
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{|x|}=1,(0, f(0))$ 为 $f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{\sin x}=1,(0, f(0))$ 必为 $f(x)$ 的拐点
设 $f(x)=\frac{1+ e ^{-x^2}}{1- e ^{-x^2}}$ ，则 $f(x)$ ．
$\text{A.}$ 无渐近线
$\text{B.}$ 只有水平渐近线
$\text{C.}$ 只有铅直渐近线
$\text{D.}$ 既有水平渐近线又有铅直渐近线
利用泰勒公式，当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)=1-\cos x \cos 2 x \cos 3 x$ 的等价无穷小为（ ）。
$\text{A.}$ $5 x^2$
$\text{B.}$ $7 x^2$
$\text{C.}$ $-5 x^2$
$\text{D.}$ $-7 x^2$
设 $f(x), g(x)$ 是恒大于零的可导函数，且 $f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x) < 0$ ，则当 $a < x < b$ 时，下列结论成立的是（ ）
$\text{A.}$ $f(x) g(b)>f(b) g(x)$
$\text{B.}$ $f(x) g(a)>f(a) g(x)$
$\text{C.}$ $f(x) g(x)>f(b) g(b)$
$\text{D.}$ $f(x) g(x)>f(a) g(a)$
设函数 $f(x)$ 满足关系式 $f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=x$ 且 $f^{\prime}(0)=0$ ，则（ ）
$\text{A.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值
$\text{B.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值
$\text{C.}$ 点 $(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $f(0)$ 不是 $f(x)$ 的极小值，点 $(0, f(0))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
曲线 $y=\frac{1}{x}+\ln \left(1+e^x\right)$ 渐近线的条数为（）
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3