单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 在 $x=1$ 处条件收敛, 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=a$ 存在, 则
$\text{A.}$ $a=1$.
$\text{B.}$ $a=-1$.
$\text{C.}$ $a < 1$
$\text{D.}$ $a>1$.
设 $k>1$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{k n}+(-1)^n}$ 的敛散性为
$\text{A.}$ 绝对收敛.
$\text{B.}$ 条件收敛.
$\text{C.}$ 发散.
$\text{D.}$ 收敛性与 $k$ 的取值有关.
下面 "结论" 中, 正确的是
$\text{A.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 都发散, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 发散
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 都收敛
$\text{C.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 都收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 都收敛
$\text{D.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛, $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 的收敛性不确定
若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-1)^n$ 在 $x=-1$ 处收敛, 那么当 $x =2$ 时该级数 $(\quad)$
$\text{A.}$ 条件收敛
$\text{B.}$ 绝对收敛
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 敛散性不变
若级数 $\sum_{n=1}^N 3 u_n$ 收敛, 则下述结论中不正确的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=0$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\equiv}\left|u_n\right|$ 敛散不确定
下列级数中绝对收敛的是 ( )。
$\text{A.}$ $\sum_1^{\infty} \frac{(-1)^n}{\ln (1+n)}$
$\text{B.}$ $\sum_1^{\infty} \frac{n^3-1}{n^2+2}$
$\text{C.}$ $\sum_1^{\infty}(-1)^n \frac{2 n^2+1}{n^3-2 n+1}$
$\text{D.}$ $\sum_1^{\infty} \frac{(-1)^n n}{\sqrt{3^n}} \sin n$
幂级数 $\sum_1^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n}$ 的收敛区间是（）。
$\text{A.}$ $[1,3]$
$\text{B.}$ $[1,3)$
$\text{C.}$ $(-1,1)$
$\text{D.}$ $[-1,1)$
设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 为正项级数，下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} n u_n=0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2 u_n=0$
$\text{C.}$ 若存在非零常数 $\lambda$ ，使 $\lim _{n \rightarrow \infty} n u_n=\lambda$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散
$\text{D.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散，则存在非零常数 $\lambda$ ，使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} n u_n=\lambda$
设常数 $\alpha>2$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{\ln n!}{n^\alpha} $ ．
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 绝对收敛
$\text{D.}$ 敛散性与 $\alpha$ 有关
设 $u_n \neq 0(n=1,2, \cdots)$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{u_n}=1$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(\frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}}\right)$
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 绝对收敛
$\text{C.}$ 条件收敛
$\text{D.}$ 敛散性不定
设有两个数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ ，若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0$ ，则
$\text{A.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 收敛
$\text{B.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 发散时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 发散
$\text{C.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_n\right|$ 收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 b_n^2$ 收敛
$\text{D.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_n\right|$ 发散时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 b_n^2$ 发散
以下说法正确的是
$\text{A.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2014}$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2015}$ 条件收敛
$\text{B.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2014}$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2015}$ 绝对收敛
$\text{C.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2015}$ 条件收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2014}$ 绝对收敛
$\text{D.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2015}$ 绝对收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2014}$ 条件收敛
设 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n u_n 2^n$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$
$\text{A.}$ 条件收敛
$\text{B.}$ 绝对收敛
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 敛散性不定
设 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-1)^n$ 在点 $x=-1$ 处收敛，则在点 $x=2$ 处级数是
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 绝对收敛
$\text{D.}$ 敛散不定
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2} \\ 2-2 x, \frac{1}{2} < x < 1\end{array}\right.$ ，而
$$
s(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n \pi x,-\infty < x < +\infty,
$$
其中 $a_n=2 \int_0^1 f(x) \cos n \pi x d x, n=0,1,2, \cdots$ ，则 $s\left(-\frac{5}{2}\right)$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $-\frac{3}{4}$
下列级数中收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{n}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \cos \frac{1}{n}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \sin n \pi$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n^n}{(n+1)^n}$ ．
设级数 $\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$ 收敛半径是 4，则级数 $\sum_{n=0}^{\infty} b_n(x-2)^n$ 在 $x=4$ 处（ ）．
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 绝对收敛
$\text{C.}$ 条件收敛
$\text{D.}$ 不能确定敛散性
$\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$（）．
$\text{A.}$ 一定收敛
$\text{B.}$ 一定发散
$\text{C.}$ 一定条件收敛
$\text{D.}$ 无法判断
设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 为正项级数，下列结论中正确的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=0$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛．
$\text{B.}$ 若存在非零常数 $\lambda$ ，使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=\lambda$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散．
$\text{C.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2 a_n=0$ ．
$\text{D.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散，则存在非零常数 $\lambda$ ，使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=\lambda$ ．
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(1-\cos \frac{\alpha}{n}\right)$（常数 $\alpha>0$ ）（）
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 绝对收敛
$\text{D.}$ 收敛性与 $\alpha$ 有关