单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ a & b & a \\ 1 & a & 1\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 相似的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a=0, b=2$.
$\text{B.}$ $a=0, b$ 为任意常数.
$\text{C.}$ $a=2, b=0$.
$\text{D.}$ $a=2, b$ 为任意常数.
已知 $A$ 为三阶方阵, 且有特征值 $\lambda_1=\lambda_2=1, \lambda_3=2$, 已知 $\alpha_1, \alpha_2$ 是特征值 1 所对的特征向量, $\alpha_3$ 是特征值 2 所对的特征向量, 则下列选项正确的是:
$\text{A.}$ $\alpha_1+\alpha_2$ 是 $A$ 的特征向量.
$\text{B.}$ $\alpha _1+\alpha_3$ 是 $A$ 的特征向量.
$\text{C.}$ $k \alpha_3$ 是 $A$ 的特征向量.
$\text{D.}$ $\left\|\alpha_1\right\| \alpha_2$ 是 $A$ 的特征向量.
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}x & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & y\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{ccc}u & v & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 2\end{array}\right)$ 相似，则下列说法中，正确的是（）
$\text{A.}$ 仅能确定 $x$ 的取值.
$\text{B.}$ 仅能确定 $x ， y$ 的取值.
$\text{C.}$ 仅能确定 $x ， y ， u$ 的取值.
$\text{D.}$ $x ， y ， u ， v$ 的取值均能确定.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{lll}b & b & a \\ b & a & b \\ a & b & b\end{array}\right) ， C=\left(\begin{array}{lll}b & a & b \\ a & b & b \\ b & b & a\end{array}\right) ， A ， B ， C$ 均可逆，则（）
$\text{A.}$ $A, B$ 不相似但合同.
$\text{B.}$ $B ， C$ 既相似又合同.
$\text{C.}$ $A, C$ 不相似但合同.
$\text{D.}$ $B, C$ 不相似但合同.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A$ 与 $B()$
$\text{A.}$ 合同且相似.
$\text{B.}$ 合同，但不相似.
$\text{C.}$ 不合同，但相似.
$\text{D.}$ 既不合同，也不相似.
设矩阵 $A ， B ， C$ 为同阶矩阵，且 $A ， B$ 可逆，矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ O & B\end{array}\right)$ ， $M_1=\left(\begin{array}{cc}A & A^{-1} C \\ O & B\end{array}\right), M_2=\left(\begin{array}{cc}A & A^{-1} C B^{-1} \\ O & B\end{array}\right)$, 则()
$\text{A.}$ $M_1, M_2$ 均与 $M$ 相似.
$\text{B.}$ $M_1$ 与 $M$ 相似， $M_2$ 与 $M$ 不相似.
$\text{C.}$ $M_1$ 与 $M$ 不相似， $M_2$ 与 $M$ 相似.
$\text{D.}$ $M_1, M_2$ 均不与 $M$ 相似.
设 $A ， B$ 为 $n(n \geq 2)$ 阶矩阵，则下列说法中，错误的是（）
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ll}A & O \\ O & B\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ll}B & O \\ O & A\end{array}\right)$ 相似.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ll}O & B \\ A & O\end{array}\right)$ 相似.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ll}A & O \\ O & B\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right)$ 相似.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ll}A & O \\ O & B\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cc}A & B-A \\ O & B\end{array}\right)$ 相似.
设 $A$ 为 3 阶矩阵, $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 为线性无关的向量组.若 $A \alpha _1= \alpha _2+ \alpha _3, A \alpha _2= \alpha _1+$ $\alpha _3, A \alpha _3= \alpha _1+ \alpha _2$, 则 $| A |=$
$\text{A.}$ 1.
$\text{B.}$ 2.
$\text{C.}$ 3.
$\text{D.}$ 4
矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{array}\right]$ 与矩阵 $B=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ a & 1 & b \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ 相似的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a-b=0$.
$\text{B.}$ $a b=0$.
$\text{C.}$ $a+b=0$.
$\text{D.}$ $a, b$ 为任意常数.
设三阶矩阵 $A$ 的特征值是 $-2,-1,2$, 矩阵 $B = A ^3-3 A ^2+2 E$, 则 $| B |=$
$\text{A.}$ -4 ;
$\text{B.}$ -16 ;
$\text{C.}$ -36 ;
$\text{D.}$ -72 .
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆, $\alpha$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量, 则下列论述中不正确的是：
$\text{A.}$ $\alpha$ 是矩阵 $-2 A$ 的属于特征值 $-2 \lambda$ 的特征向量.
$\text{B.}$ $\alpha$ 是矩阵 $\left(\frac{1}{2} A ^2\right)^{-1}$ 的属于特征值 $\frac{2}{\lambda^2}$ 的特征向量.
$\text{C.}$ $\alpha$ 是矩阵 $A ^*$ 的属于特征值 $\frac{| A |}{\lambda}$ 的特征向量.
$\text{D.}$ $\alpha$ 是矩阵 $A ^T$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量.
下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是（）
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
已知向量 $\alpha_1=(1,0,1)^T, \alpha_2=(1,2,1)^T, \alpha_3=(3,1,2)^T$, 记 $\beta_1=\alpha_1, \beta_2=\alpha_2-k \beta_1$, $\beta_3=\alpha_3-l_1 \beta_1-l_2 \beta_2$, 若 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 两两正交, 则 $l_1, l_2$ 依次为 ( ).
$\text{A.}$ $\frac{5}{2}, \frac{1}{2}$;
$\text{B.}$ $-\frac{5}{2}, \frac{1}{2}$;
$\text{C.}$ $\frac{5}{2},-\frac{1}{2}$;
$\text{D.}$ $-\frac{5}{2},-\frac{1}{2}$.
下述四个条件中, 3 阶方阵 $A$ 对角化的一个充分不必要的条件是 ( ).
$\text{A.}$ $A$ 有 3 个两两线性无关的特征向量;
$\text{B.}$ $A$ 有 3 个线性无关的特征向量;
$\text{C.}$ $A$ 有 3 个互不相等的特征值;
$\text{D.}$ $A$ 属于不同特征值的特征向量正交.
设方阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 1 & k & 0 \\ 0 & 0 & k^2\end{array}\right)$ 是正定矩阵, 则必有 ( )。
$\text{A.}$ $k>0$;
$\text{B.}$ $k>1$;
$\text{C.}$ $k>2$;
$\text{D.}$ $k>-1$ 。
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵; 将 $A$ 的第 3 行的 2 倍加到第 1 行, 然后再将第 1 列的 - 2 倍加到第 3列，得到矩阵为 $B$ ，则 $A$ 和 $B$
$\text{A.}$ 完全相同
$\text{B.}$ 相似又等价，
$\text{C.}$ 合同但不相似
$\text{D.}$ 等价但不一定相似
下列矩阵中，不能相似于对角矩阵的是（ ）。
$\text{A.}$ $A =\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $B =\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $C =\left[\begin{array}{lll}1 & -2 & 1 \\ 2 & -4 & 2 \\ 1 & -2 & 1\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $D =\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\ 5 & -3 & 3 \\ -1 & 0 & -2\end{array}\right]$
设 $W =\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right]$ ，则与 $W$ 相似的矩阵是 $(\quad$ ）．
$\text{A.}$ $A =\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $B =\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $C =\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ a & a & a \\ -a & -a & -a\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $D =\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]$
矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ a & b & a \\ 1 & a & 1\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 相似的充分必要条件是
$\text{A.}$ $a=0, b=2$
$\text{B.}$ $a=0, b$ 为任意常数
$\text{C.}$ $a=2, b=0$
$\text{D.}$ $a=2, b$ 为任意常数
设 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1,2,3$ ，则 $\left|A^2+2 A\right|=()$
$\text{A.}$ 36
$\text{B.}$ 72
$\text{C.}$ 360
$\text{D.}$ 720