单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\boldsymbol{b}=(3,2)^{\mathrm{T}}$, 线性方程组 $\boldsymbol{A}_{2 \times 2} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有通解 $k(-2,1)^{\mathrm{T}}+(3,-4)^{\mathrm{T}}$, 则 $\boldsymbol{\beta}=(5$, $-10)^{\mathrm{T}}$ 是下列哪个方程组的解
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A x}=\left(\begin{array}{c}5 \\ -10\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A x}=\left(\begin{array}{c}3 \\ -4\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A x}=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}9 \\ 6\end{array}\right)$.
设实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0\end{array}\right)$ 合同, $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 则二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}$ 的规范形为
$\text{A.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$.
$\text{B.}$ $-y_1^2-y_2^2+y_3^2$.
$\text{C.}$ $y_1^2+y_2^2+y_3^2$.
$\text{D.}$ $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶矩阵, $r(\boldsymbol{A})=2, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的两个线性无关解, $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 的特解,下列选项中可作为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 的通解的是
$\text{A.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\beta}_2-\boldsymbol{\beta}_1\right)+\boldsymbol{\beta}_1$
$\text{B.}$ $k_1\left(\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_1\right)+k_2\left(\boldsymbol{\beta}_2-\boldsymbol{\beta}_1\right)+\boldsymbol{\beta}_1$
$\text{C.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_1\right)+\frac{\boldsymbol{\beta}_2-\boldsymbol{\beta}_1}{2}$
$\text{D.}$ $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_1\right)+\frac{\boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2}{2}$
下列说法中:
(1) 已知非零列向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解, 其中 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵, 则非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\alpha}$ 有解的充要条件是 $r(\boldsymbol{A})=n-1$;
(2) 已知 $m \times n$ 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 行满秩, $\boldsymbol{B}$ 为 $n \times(n-m)$ 矩阵, 有 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ 成立, 则存在唯一的列向量 $\boldsymbol{\gamma}$, 有 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\alpha}$ 成立;
(3) 已知齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 的基础解系分别为 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 与 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{r-s}$,其中 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵, 两个方程组无非零的公共解, 则任一 $n$ 维列向量 $\boldsymbol{\eta}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$与 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n-s}$ 唯一线性表示;
(4) 若齐次线性方程组 $A x=0$ 与 $B x=0$ 同解, 则存在 $n$ 阶矩阵 $C_1, C_2$ 使得 $A=C_1 B, B=C_2 A$.正确的个数为 $(\quad)$.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $a_1=\left[\begin{array}{lll}1, & 0, & 1\end{array}\right]^T, a_2=\left[\begin{array}{lll}0, & 1, & 1\end{array}\right]^T$ 为 $A x=0$ 的两个解向量, 其中 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ -1 & a & 1 \\ 1 & 1 & b\end{array}\right]$,
则
$\text{A.}$ $a=-1, \quad b=-1$;
$\text{B.}$ $a=1, \quad b=-1$;
$\text{C.}$ $a=1, \quad b=1$;
$\text{D.}$ $a=-1, \quad b=1$.
齐次方程组 $A x=0$ 仅有零解的充要条件是系数矩阵 $A$ 的
$\text{A.}$ 行向量组线性无关;
$\text{B.}$ 列向量组线性无关;
$\text{C.}$ 行向量组线性相关;
$\text{D.}$ 列向量组线性相关.
齐次方程组 $A x=0$ 有非零解的充要条件是
$\text{A.}$ $A$ 的任意两个列向量线性相关;
$\text{B.}$ $A$ 的任意两个列向量线性无关;
$\text{C.}$ 必有一列向量是其余列向量的线性组合;
$\text{D.}$ 任意一列向量都是其余列向量的线性组合.
已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+x_2+x_3=4 \\ 2 x_1+2 a x_2=4 \\ x_1+a x_2+x_3=3\end{array}\right.$ 无解, 则数 $a=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
设矩阵 $A=\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4\right)$, 其中 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性无关, $\alpha _1+ \alpha _2+ \alpha _3+ \alpha _4= 0$, 向量 $b=\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3-\alpha_4, c_1, c_2$ 表示任意常数, 则非齐次线性方程组 $A x=b$ 的通解为
$\text{A.}$ $c_1\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$;
$\text{B.}$ $c_1\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{l}1 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$;
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$;
$\text{D.}$ $c_1\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}1 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$.
设 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$ 为 4 阶正交矩阵。若矩阵 $B=\left(\begin{array}{l}\alpha_1^T \\ \alpha_2^T \\ \alpha_3^T\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), k$ 表示任意常数, 则线性方程组 $B x=\beta$ 的通解 $x=(\quad)$
$\text{A.}$ $\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4+k \alpha_1$;
$\text{B.}$ $\alpha_1+\alpha_3+\alpha_4+k \alpha_2$;
$\text{C.}$ $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_4+k \alpha_3$;
$\text{D.}$ $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+k \alpha_4$ 。
设 $\xi _1=[1,-2,3,2]^{ T }, \xi _2=[2,0,5,-2]^{ T }$ 是齐次线性方程组 $A x = 0$ 的基础解系,则下列向量中是齐次线性方程组 $A x = 0$ 的解向量的是 ( ).
$\text{A.}$ $\alpha _1=[1,-3,3,3]^{ T }$
$\text{B.}$ $\alpha _2=[0,0,5,-2]^{ T }$
$\text{C.}$ $\alpha _3=[-1,-6,-1,10]^{ T }$
$\text{D.}$ $\alpha _4=[1,6,1,0]^{ T }$
设方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_2+x_3-x_4=10 \\ x_1+3 x_3+x_4=13 \\ x_1+4 x_2+x_3=23\end{array}\right.$, 线性无关的解向量组中的向量个数最多为 $s$, 其对应的齐次线性方程组基础解系中的向量个数为 $t$, 则
$\text{A.}$ $s=1, t=1$.
$\text{B.}$ $s=2, t=1$.
$\text{C.}$ $s=2, t=3$.
$\text{D.}$ $s=3, t=2$.
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵, $m < n, r( A )=m$, 以下选项中错误的是
$\text{A.}$ 存在 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$, 使得 $A Q =\left( E _m: O \right)$.
$\text{B.}$ 存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$, 使得 $P A =\left( E _m: O \right)$.
$\text{C.}$ 齐次线性方程组 $A x =0$ 有零解。
$\text{D.}$ 非齐次线性方程组 $A x = b$ 有无穷多解.
设 $A x = b$ 是一非齐次线性方程组，$\eta_1, \eta_2$ 是其任意 2 个解，则下列结论错误的是
$\text{A.}$ $\eta_1+\eta_2$ 是 $A x = 0$ 的一个解
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} \eta_1+\frac{1}{2} \eta_2$ 是 $A x = b$ 的一个解
$\text{C.}$ $\eta_1-\eta_2$ 是 $A x = 0$ 的一个解
$\text{D.}$ $2 \eta_1-\eta_2$ 是 $A x = b$ 的一个解
设 A 是一个 $n (\geqslant 3)$ 阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）
$\text{A.}$ 如存在数 $\lambda$ 和向量 $a$ 使 $A a =\lambda a$ ，则 $a$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量
$\text{B.}$ 如存在数 $\lambda$ 和非零向量 $a$ ，使 $(\lambda E - A ) a =0$ ，则 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值
$\text{C.}$ A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量
$\text{D.}$ 如 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 是 $A$ 的 3 个互不相同的特征值， $a _1, a _2, a _3$ 依次是 $A$ 的属于 $\lambda_1, \lambda_2$ ， $\lambda_3$ 的特征向量，则 $a _1, a _2, a _3$ 有可能线性相关
设线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+2 x_2+\lambda x_3=\mu+1, \\ x_1-4 x_3=\mu-1, \\ x_1+2 x_2-2 x_3=0\end{array}\right.$ 无解，则 $\lambda, \mu$ 应满足条件是（ ）．
$\text{A.}$ $\lambda=-2$ ，但 $\mu \neq-1$
$\text{B.}$ $\mu=0$ ，但 $\lambda \neq 0$
$\text{C.}$ $\lambda=0$ ，但 $\mu \neq 1$
$\text{D.}$ $\lambda=0$ ，但 $\mu \neq-1$
设 $A =\left[ \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \alpha _4\right]$ 是 4 阶矩阵， $A ^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若 $[1,0,1,0]^{ T }$ 是方程组 $A x = 0$ 的一个基础解系，则 $A ^* x = 0$ 的基础解系可以为（ ）。
$\text{A.}$ $\alpha _1, \alpha _3$
$\text{B.}$ $\alpha _1, \alpha _2$
$\text{C.}$ $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$
$\text{D.}$ $\alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$
已知线性方程组
$$
\alpha _1 x_1+ \alpha _2 x_2+ \alpha _3 x_3+ \alpha _4 x_4= \alpha _5
$$
有通解 $[2,0,0,1]^{ T }+k[1,-1,2,0]^{ T }$ ，则下列说法正确的是（ ）．
$\text{A.}$ $\alpha _5$ 可由 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性表出
$\text{B.}$ $\alpha _4$ 不能由 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性表出
$\text{C.}$ $\alpha _5$ 不能由 $\alpha _2, \alpha _3, \alpha _4$ 线性表出
$\text{D.}$ $\alpha _4$ 不能由 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _5$ 线性表出
设 $\xi _1, \xi _2, \xi _3$ 是 $A x = 0$ 的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示成（ ）．
$\text{A.}$ $\xi _1, \xi _2, \xi _3$ 的一个等价向量组
$\text{B.}$ $\xi _1, \xi _2, \xi _3$ 的一个等秩向量组
$\text{C.}$ $\xi _1+ \xi _2, \xi _2+ \xi _3, \xi _3+ \xi _1$
$\text{D.}$ $\xi _1- \xi _2, \xi _2- \xi _3, \xi _3- \xi _1$
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times m$ 矩阵，则线性方程组 $(A B) X=0$（ ）
$\text{A.}$ 当 $m>n$ 时，仅有零解
$\text{B.}$ 当 $m>n$ 时，必有非零解
$\text{C.}$ 当 $n>m$ 时，仅有零解
$\text{D.}$ 当 $n>m$ 时，必有非零解