2024届湖北圆创高中名校联盟五月联考数学试卷答案

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2024届湖北圆创高中名校联盟五月联考数学试卷答案

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 已知复数

z

满足

z + z i = i

, 则

z =

A.

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

B.

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

C.

1 + i

D.

1 - i

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2. 已知集合

A = {x \in R ∣ x^{2} - 2 x - 3 > 0}

, 集合

B

满足

B ⫋ A

, 则

B

可以为

A.

[- 1, 3]

B.

(- \infty, - 1]

C.

(- \infty, - 1)

D.

(- \infty, 3)

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3. 校举行“云翔杯”学生篮球比赛, 统计部分班级的得分数据如下:

A.

得分的中位数为 28

B.

得分的极差为 8

C.

得分的众数为 34

D.

得分的平均数为 31

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4. 已知

m, n

是不同的直线,

α, β

是不同的平面, 则

A.

若

α / / β, m / / α, n / / β

, 则

m / / n

B.

若

α / / β, m ⊥ α, n / / β

, 则

m / / n

C.

若

α ⊥ β, m ⊥ α, n ⊥ β

, 则

m ⊥ n

D.

若

α ⊥ β, m / / α, n / / β

, 则

m ⊥ n

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5. 在

△ A B C

中, 若

A C^{2} + B C^{2} = 5 A B^{2}

, 则

\frac{\tan C}{\tan A} + \frac{\tan C}{\tan B} =

A.

\frac{2}{3}

B.

\frac{1}{2}

C.

\frac{\sqrt{3}}{2}

D.

\frac{\sqrt{2}}{2}

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6. 已知

{a_{n}}

是各项均为正数的等比数列,

a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} = 10, a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6} = 8

, 则

\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} +

\frac{1}{a_{3}} + \frac{1}{a_{4}} + \frac{1}{a_{5}} + \frac{1}{a_{6}} =

A.

B.

C.

D.

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7. 过抛物线

C : y^{2} = 4 x

的焦点

F

作直线

l_{1}, l_{2}

, 其中

l_{1}

与

C

交于

M, N

两点,

l_{2}

与

C

交于

P, Q

两点, 则

\frac{1}{| F M |} + \frac{1}{| F N |} + \frac{1}{| F P |} + \frac{1}{| F Q |} =

A.

B.

C.

D.

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8. 若

\forall x \in R, x^{2} ⩾ - \frac{1}{2} \cos 2 ω x + \frac{1}{2}

, 则实数

ω

的最大值为

A.

B.

C.

\frac{π}{3}

D.

\frac{π}{2}

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二、多选题（共 3 题），每题有多个选项正确

9. 已知双曲线

E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)

过点

P (4, \sqrt{3})

, 则

A.

双曲线

E

的实轴长为 4

B.

双曲线

E

的离心率为

\frac{\sqrt{5}}{2}

C.

双曲线

E

的渐近线方程为

y = \pm 2 x

D.

过点

P

且与双曲线

E

仅有 1 个公共点的直线恰有 1 条

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10. 张同学从学校回家要经过 2 个路口, 假设每个路口等可能遇到红灯或绿灯, 每个路口遇到红绿灯相互独立, 记事件 A: “第 1 个路口遇到绿奵”, 事件

B

: “第 2 个路口遇到绿灯”, 则

A.

P (A) = \frac{1}{2}

B.

P (A B) = \frac{1}{4}

C.

P (B ∣ \bar{A}) = \frac{1}{4}

D.

P (A + B) = \frac{3}{4}

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11. 已知

f (x)

是定义在

R

上的函数, 且任意

x, y \in R

, 有

f (x + y) = f (x) + f (y), f (1) = \frac{1}{2}

, 则

A.

f (x)

为

R

上的单调递增函数

B.

f (x)

为奇函数

C.

函数

g (x) = \frac{f (x)}{e^{x}}

在

x = 0

处取极小值

D.

函数

h (x) = f (x) - 2 \sin x - 1

只有一个非负零点

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三、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

12. 已知向量

a = (k, 2), b = (2, 1)

, 若

a ⊥ b

, 则实数

k =

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13. 已知三棱锥

A - B C D

的四个顶点都在球

O

的球面上, 且

A B = C D = \sqrt{5}, A C = B D = \sqrt{10}, A D = B C =

\sqrt{13}

, 则球

O

的半径为

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14. 已知直线

l_{1}

与曲线

y = a e^{x}

和

y = \ln x - \ln a

都相切, 倾斜角为

α

, 直线

l_{2}

与曲线

y = a e^{x}

和

y = \ln x - \ln a

都相切, 倾斜角为

β

, 则

\tan α + 4 \tan β

取最小时, 实数

a

的值为

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四、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

15. (1) 求证:

\frac{\sin 1^{\circ}}{\sin k^{\circ} \sin (k + 1)^{\circ}} = \frac{\cos k^{\circ}}{\sin k^{\circ}} - \frac{\cos (k + 1)^{\circ}}{\sin (k + 1)^{\circ}}

;
(2) 求值:

\frac{1}{\cos 0^{\circ} \cos 1^{\circ}} + \frac{1}{\cos 1^{\circ} \cos 2^{\circ}} + \dots + \frac{1}{\cos 44^{\circ} \cos 45^{\circ}}

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16. 如图,

A E ⊥

平面

A B C D, E, F

在平面

A B C D

的同侧,

A E / / D F, A D / / B C, A D ⊥ A B, A D = A B =

\frac{1}{2} B C = 1

.
(1) 若

B, E, F, C

四点在同一平面内, 求线段

E F

的长;
(2)若

D F = 2 A E

, 平面

B E F

与平面

B C F

的夹角为

30^{\circ}

; 求线段

A E

的长.

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17. 已知函数

f (x) = x e^{x}

.
(1) 求

f (x)

的单调区间;
(2) 若关于

x

的不等式

f (x) + f (1 - x) ⩾ a

恒成立, 求实数

a

的取值范围.

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18. 已知楠圆

E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

, 直线

l_{1}

与

E

交于

M (- 4, 0), N (- 2, 2)

两点, 点

P

在线段

M N

上(不含端点), 过点

P

的另一条直线

l_{2}

与

E

交于

A, B

两点.
(1)求楠圆

E

的标准方程;
(2) 若

\vec{M P} = \vec{P N}, \vec{A P} = (7 - 4 \sqrt{3}) \vec{P B}

, 点

A

在第二象限, 求直线

l_{2}

的斜率;
(3) 若直线

M A, M B

的斜率之和为 2 , 求直线

l_{2}

的斜率的取值范围.

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19. 组合投资需要同时考虑风险与收益. 为了控制风险需要组合低风险资产, 为了扩大收益需要组合高收益资产. 现有两个相互独立的投资项目

A

和

B

, 单独投资 100 万元项目

A

的收益记为随机变量

X

, 单独投资 100 万元项目

B

的收益记为随机变量

Y

. 若将 100 万资金按

λ A + (1 - λ) B

进行组合投资, 则投资收益的随机变量

Z

满足

Z = λ X + (1 - λ) Y

, 其中

δ ⩽ λ ⩽ 1

. 假设在组合投资中, 可用随机变量的期望衡量收益,可用随机变量的方差衡量风险.
（1）若

Y \sim B (100, 0.03), λ = 0

, 求

Z

的期望与方差;
(2)已知随机变量

X

满足分布列:

且随机变量

X

与

Y

相互独立, 即

P (X = x_{i}, Y = y_{i}) = P (X = x_{i}) \cdot P (Y = y_{i}), Z = λ X +

(1 - λ) Y, D (X) = \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - E (X))}^{2} \cdot p_{i} = E (X - E (X))^{2}

.
求证:

D (Z) = λ^{2} D (X) + (1 - λ)^{2} D (Y)

;
(3)若投资项目

X

是高收益资产,其每年的收益满足:有

30 %

的可能亏损当前资产的一半;有

70 %

的可能增值当前资产的一倍. 投资项目

Y

是低风险资产, 满足

Y \sim B (100, 0.03)

. 试问

λ = 0.3

能否满足投资第 1 年的收益否低于 17 万, 风险不高于 500 ? 请说明理由.

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