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已知直线 $l_1$ 与曲线 $y=a \mathrm{e}^x$ 和 $y=\ln x-\ln a$ 都相切, 倾斜角为 $\alpha$, 直线 $l_2$ 与曲线 $y=a \mathrm{e}^x$ 和 $y=\ln x-\ln a$ 都相切, 倾斜角为 $\beta$, 则 $\tan \alpha+4 \tan \beta$ 取最小时, 实数 $a$ 的值为
                        
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