单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设全集为 $\mathbf{R}$ ，集合 $M=\{0,1,2\}, N=\{x \mid x < 1$ 或 $x>2\}$ ，则 $M \cap\left(\complement_{\mathbf{R}} N\right)=$
$\text{A.}$ $\{1\}$
$\text{B.}$ $\{2\}$
$\text{C.}$ $\{0,1\}$
$\text{D.}$ $\{1,2\}$
若 $\frac{1+\mathrm{i}}{a-\mathrm{i}}=\mathrm{i}(a \in \mathbf{R}, \mathrm{i}$ 为虚数单位），则 $|1-a \mathrm{i}|=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ $2 \sqrt{2}$
下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递增的是
$\text{A.}$ $f(x)=\frac{1}{x}$
$\text{B.}$ $f(x)=\mathrm{e}^{-x}$
$\text{C.}$ $f(x)=\ln |x|$
$\text{D.}$ $f(x)=x^3+2 x$
＂$\alpha \in\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right)$＂是＂ $\sin \alpha+\cos \alpha>0$＂的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
已知过定点 $A$ 的直线 $(a+1) x-y+2=0$ 与过定点 $B$ 的直线 $x+(a+1) y-5 a-2=0$ 交于点 $P$（点 $P$ 与点 $A, B$ 不重合），则 $\triangle P A B$ 的面积的最大值为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ $\frac{9}{2}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $\frac{3}{2}$
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $A$ 为双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右顶点，以 $O A$ 为直径的圆与 $C$ 的一条渐近线交于另一点 $M$ ，若 $|A M|=\frac{1}{2} b$ ，则 $C$ 的离心率为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $\sqrt{2}$
已知 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的外心，且 $\overrightarrow{A O}=\lambda \overrightarrow{A B}+(1-\lambda) \overrightarrow{A C}$ ．若向量 $\overrightarrow{B A}$ 在向量 $\overrightarrow{B C}$ 上的投影向量为 $\mu \overrightarrow{B C}$ ，其中 $\mu \in\left[\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right]$ ，则 $\cos \angle A O C$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $\left[\frac{1}{10}, \frac{3}{20}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{1}{5}, \frac{3}{10}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\frac{1}{20}, \frac{3}{10}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\frac{1}{5}, \frac{3}{5}\right]$
某个圆锥形容器的轴截面是边长为 4 的等边三角形，一个表面积为 $\frac{4 \pi}{3}$ 的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥形容器内壁的总面积为
$\text{A.}$ $4 \pi$
$\text{B.}$ $5 \pi$
$\text{C.}$ $6 \pi$
$\text{D.}$ $7 \pi$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
有一组样本数据 $x_1, x_2, \cdots, x_{10}$ 满足 $x_1 < x_2 < \cdots < x_{10}$ ，则下列结论正确的有
$\text{A.}$ 该样本数据的中位数是 $\frac{x_5+x_6}{2}$
$\text{B.}$ 该样本数据的极差是 $x_{10}-x_1$
$\text{C.}$ 该样本数据去掉 $x_1$ 后的方差变小
$\text{D.}$ 该样本数据去掉 $x_2$ 后的平均数可能不变
已知函数 $f(x)=x^3-3 x^2+1$ ，则下列结论正确的有
$\text{A.}$ $f(x)$ 在区间 $(0,2)$ 上单调递增
$\text{B.}$ 函数 $y=f(x+1)+1$ 是奇函数
$\text{C.}$ 过点 $(0,1)$ 可作曲线 $y=f(x)$ 的两条切线
$\text{D.}$ 当 $a \geqslant 2 \sqrt{3}$ 时，满足 $f(x+a) \geqslant f(x)$
对于 $n \in \mathbf{N}^*$ ，将 $n$ 表示为 $n=a_0 \cdot 3^0+a_1 \cdot 3^1+a_2 \cdot 3^2+\cdots+a_k \cdot 3^k$ ，其中 $a_i \in\{-1,0,1\} (i=0,1,2, \cdots, k), a_k \neq 0$ ．记 $I(n)$ 为上述表示中 $a_i$ 为 0 的个数（例如 $8=(-1) \times 3^0+0 \times 3^1 +1 \times 3^2$ ，则 $\left.I(8)=1\right)$ ，则下列结论正确的有
$\text{A.}$ $I(10)=1$
$\text{B.}$ $I\left(3^n+2\right)=n-2$
$\text{C.}$ $I(9 n)=I(n)+2$
$\text{D.}$ $I(9 n+4)=I(n)+4$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
从二项式 $\left(x+\frac{1}{x}\right)^6$ 的展开式中随机抽取一项，该项的系数是奇数的概率为
已知 $\alpha$ 为第一象限角， $\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{2}{3} \tan \alpha$ ，则 $\tan 2 \alpha=$
已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，且函数 $y= g(2 x-1)+1$ 为奇函数，则函数 $y=f(x)$ 的图象的对称中心是
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sqrt{3} c \sin B+b \cos (A+B)=b$ ．
（1）求角 $C$ 的大小；
（2）若 $a=8, \triangle A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，求 $A B$ 边上的高．
袋中装有 4 个红球和 2 个黑球，第一次随机取出 1 个小球，若是红球则放回，否则不放回．
（1）第二次随机取出 1 个小球，求两次取出的球的颜色相同的概率；
（2）第二次随机取出 2 个小球，记两次取出红球的个数为 $X$ ，求 $X$ 的概率分布列及数学期望．
如图，已知抛物线 $T: y^2=2 p x(p>0)$ 和椭圆 $C: \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ ，过抛物线 $T$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$交抛物线于 $A, B$ 两点，线段 $A B$ 的中垂线交椭圆 $C$ 于 $M, N$ 两点．
（1）若 $F$ 恰是椭圆 $C$ 的焦点，求 $p$ 的值；
（2）若 $p \in \mathbf{N}^*$ ，且 $M N$ 恰好被 $A B$ 平分，求 $\triangle O A B$ 的面积．
如图 1，在平面四边形 $P D C B$ 中，$P D / / B C, B A \perp P D, P A=A B=B C=1, A D=\frac{1}{2}$ ，将 $\triangle P A B$ 沿 $B A$ 翻折到 $\triangle S A B$ 的位置，使得平面 $S A B \perp$ 平面 $A B C D$ ，如图 2 所示，点 $Q$ 是线段 $S C$ 的中点．
（1）设平面 $S D C$ 与平面 $S A B$ 的交线为 $l$ ，求证：$B C \perp l$ ；
（2）求平面 $S C D$ 与平面 $S A B$ 所成角的余弦值；
（3）设点 $M$ 是线段 $S A$ 的中点，点 $N$ 在线段 $S D$ 上，且 $\frac{S N}{S D}=\frac{2}{3}$ ，判断直线 $B Q$ 是否在平面 $B M N$ 内，并说明理由．
若二元代数式 $f(a, b)$ 满足 $f(a, b)=f(b, a)$ ，则称代数式 $f(a, b)$ 为＂二元轮换式＂，记 $\sum_{i=1}^2 a =a+b$ ；若三元代数式 $f(a, b, c)$ 满足 $f(a, b, c)=f(b, c, a)$ ，则称代数式 $f(a, b, c)$ 为＂三元轮换式＂，记 $\sum_{i=1}^3 a=a+b+c, \sum_{i=1}^3 a b^2=a b^2+b c^2+c a^2$ 。
（1）若正实数 $x, y$ 满足 $x>y$ ，且 $\sum_{i=1}^2 x=\sum_{i=1}^2 x^2$ ，求 $\frac{2 x-y}{x-y+1}$ 的最大值；
（2）若代数式 $f(x, y)=\frac{\ln x}{y}(x \neq y)$ 为＂二元轮换式＂，比较 $x y$ 与 $\mathrm{e}^{-2}$ 的大小；
（3）若对任意的正实数 $x, y, z$ ，均有 $\sum_{i=1}^3 x^3-\sum_{i=1}^3 x y^2 \geqslant m\left(\sum_{i=1}^3 x y^2-\sum_{i=1}^3 x^2 y\right)$ ，求整数 $m$ 的最大值．