已知 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的外心，且 $\overrightarrow{A O}=\lambda \overrightarrow{A B}+(1-\lambda) \overrightarrow{A C}$ ．若向量 $\overrightarrow{B A}$ 在向量 $\overrightarrow{B C}$ 上的投影向量为 $\mu \overrightarrow{B C}$ ，其中 $\mu \in\left[\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right]$ ，则 $\cos \angle A O C$ 的取值范围为
A. $\left[\frac{1}{10}, \frac{3}{20}\right]$
B. $\left[\frac{1}{5}, \frac{3}{10}\right]$
C. $\left[\frac{1}{20}, \frac{3}{10}\right]$
D. $\left[\frac{1}{5}, \frac{3}{5}\right]$