如图，已知抛物线 $T: y^2=2 p x(p>0)$ 和椭圆 $C: \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ ，过抛物线 $T$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$交抛物线于 $A, B$ 两点，线段 $A B$ 的中垂线交椭圆 $C$ 于 $M, N$ 两点．
（1）若 $F$ 恰是椭圆 $C$ 的焦点，求 $p$ 的值；
（2）若 $p \in \mathbf{N}^*$ ，且 $M N$ 恰好被 $A B$ 平分，求 $\triangle O A B$ 的面积．
（1）若 $F$ 恰是椭圆 $C$ 的焦点，求 $p$ 的值；
（2）若 $p \in \mathbf{N}^*$ ，且 $M N$ 恰好被 $A B$ 平分，求 $\triangle O A B$ 的面积．