单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 可导且是以 $T$ 为周期的周期函数，又 $x_0$ 是 $f(x)$ 在 $[0, T]$ 上的最大值点，则下列命题中正确的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $x_0=0$ ，则 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 可能为零也可能小于零
$\text{B.}$ 若 $x_0=0$ ，则 $f^{\prime}\left(x_0\right) < 0$
$\text{C.}$ 若 $x_0=0$ ，则 $f^{\prime}\left(x_0\right)>0$
$\text{D.}$ 总有 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$
下列说法中正确的是（ ）
$\text{A.}$ 因为 $f(x)=\sin ^2 x-1$ 在 $[0,1]$ 不总是 $f(x) \geqslant 0$ ，故 $\int_0^1\left(\sin x^2-1\right) \mathrm{d} x \geqslant 0$ 不正确
$\text{B.}$ 设 $\alpha>0, \beta>0$ ，下列各数列趋于 $+\infty$ 的速度由慢到快的排列顺序是 $\ln ^\beta n, n^a, \alpha^n(\alpha>1)$ 因此我们可得 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n^a}{\ln ^\beta n}=\infty, \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n^a}{\alpha^n}=0$
$\text{C.}$ 设 $x_n \neq 0, \lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\alpha$ 存在，$y_n$ 有界但不收敛，则 $x_n y_n$ 收敛的充要条件是 $\alpha=0$
$\text{D.}$ 设 $f(x)$ 在 $x=\alpha$ 连续，$\varphi(x)$ 在 $x=f(\alpha)$ 间断，则 $\varphi(f(x))$ 在 $x=a$ 间断
设 $\varphi(u)$ 为连续的奇函数，则必有
$\text{A.}$ $\int_{-a}^a \varphi\left(x^2\right) \mathrm{d} x=0$
$\text{B.}$ $\int_{-a}^a \varphi\left(x^3\right) \mathrm{d} x=0$
$\text{C.}$ $\int_{-a}^a \varphi\left(x^4\right) \mathrm{d} x=0$
$\text{D.}$ $\int_{-a}^a \varphi\left(x^6\right) \mathrm{d} x=0$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sqrt{|x|} \sin \frac{1}{x^2}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 极限不存在
$\text{B.}$ 极限存在但不连续
$\text{C.}$ 连续但不可导
$\text{D.}$ 可导
$A$ 是 $n$ 阶矩阵，$A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，下列等式中错误的是（ ）
$\text{A.}$ $\left|A A^*\right|=|A|^*$
$\text{B.}$ $\left|\left(A^*\right)^*\right|=|A|^{(n-1) 2}$
$\text{C.}$ $\left||A| A^*\right|=|A|^*$
$\text{D.}$ $\left|\left|A^*\right| A\right|=|A|^{n^2-n+1}$
设 $f(x)$ 有连续的导数 $f(0)=0 f^{\prime}(0) \neq 0, F(x)=\int_0^x\left(x^2-t^2\right) f(t) \mathrm{d} t$ ，且当 $x \rightarrow 0$ 时，$F^{\prime}(x)$ 与 $x^k$是同阶无穷小
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $f(x)$ 有二阶连续导数，且 $f^{\prime}(0)=0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{|x|}=1$ 则（ ）
$\text{A.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值
$\text{B.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值
$\text{C.}$ $(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $f(0)$ 不是 $f(x)$ 的极值，$(0, f(0))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
设 $A$ 为三阶方阵，$A=\left(A_1, A_2, A_3\right)$ ，其中 $A_i(i=1,2,3)$ 为 $A$ 的三个列向量，则 $|A|$ 等于
$\text{A.}$ $\left|\left(A_1-A_2, A_2-A_3, A_3-A_1\right)\right|$
$\text{B.}$ $\left|\left(A_1+A_2, A_2+A_3, A_3-A_1\right)\right|$
$\text{C.}$ $\left|\left(A_1, A_1+A_2, A_1+A_2+A_3\right)\right|$
$\text{D.}$ $\left|\left(A_1+2 A_2, 2 A_2+3 A_3, 3 A_3+A_1\right)\right|$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)$ 的一个原函数为 $1+\sin x$ ，则 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} x f^{\prime \prime}(2 x) \mathrm{d} x=$
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x+x^2\right)+\ln \left(1-x+x^2\right)}{\sec x-\cos x}=
$$
已知 $\int_1^{+\infty}\left[\frac{2 x^2+b x+a}{x(2 x+a)}-1\right] \mathrm{d} x=1$ ，则 $a=$ ，$b=$
设三阶矩阵 $A, B$ 分别为$A=\left(\alpha^T, 2 \gamma_2^T, 2 \gamma_3^T\right)^T, B=\left(\beta^T, \gamma_2^T, \gamma_3^T\right)^T$ ，其中 $\alpha, \beta, \gamma_2, \gamma_3$ 均为 3 维行向鱼，且已知行列式 $|A|=16,|B|=$ 2 ，则行列式 $|A-B|=$
设 $A$ 是三阶实对称矩阵，$\lambda_1$ 是二重特征值。对应有两个线性无关特征向量 $\xi_1=(1,2,3)^T, \xi_2=(-2,1,-1)^T$ ，则对应于另一个特征值 $\lambda_3$ 的特征向量是
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $f(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(2)=0$ 及 $\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=1$ ，求 $\int_0^1 x^2 f^{\prime \prime}(2 x) \mathrm{d} x$
计算 $\int_0^{+\infty} \frac{d x}{(x-1)^4 \sqrt{x^2-2 x}}$
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{x-\int_0^x \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t}{x^{p} \sin 2 x}=c(c \neq 0)$ ，求常数，$p, c$ ．
设抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 过原点，当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时，$y \geqslant 0$ ，又已知该抛物线与 $x$ 轴及直线 $x=1$ 所围图形的面积为 $\frac{1}{3}$ ，试确定 $a, b, c$ ，使此图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积 $V$ 最小。
设 $f(x), g(x)$ 均在 $[a, b]$ 上连续，证明柯西不等式：
$$
\left[\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x\right]^2 \leqslant\left[\int_a^b f^2(x) \mathrm{d} x\right]\left[\int_a^b g^2(x) \mathrm{d} x\right]
$$
求微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=\mathrm{e}^{a x}$ 之通解，其中 $a$ 为常数．
设 $f^{\prime \prime}(x) < 0, f(0)=0$ ，证明对任何 $x_1>0, x_2>0$ 有 $f\left(x_1+x_2\right) < f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)$
已知三阶矩阵 $B \neq 0$, 且 $B$ 的每一个列向量都是方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+2 x_2-2 x_3=0 \\ 2 x_1-x_2+\lambda x_3=0 \text { 的解 } \\ 3 x_1+x_2-x_3=0\end{array}\right.$
（1）求 $\lambda$ 的值；
（2）证明 $|B|=0$ ．
已知 $A P=P B$ ，其中 $B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right], P=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1\end{array}\right]$ ，求 $A$ 及 $A^5$ ．