单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
设等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差是 $d$ ，如果它的前 $n$ 项和 $S_n=-n^2$ ，那么（ ）
$\text{A.}$ $a_n=2 n-1, d=-2$
$\text{B.}$ $a_n=2 n-1, d=2$
$\text{C.}$ $a_n=-2 n+1, d=-2$
$\text{D.}$ $a_n=-2 n+1, d=2$
设等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，若 $a_1=-11, a_4+a_6=-6$ ，则当 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 取最小值时，$n$等于
$\text{A.}$ 6
$\text{B.}$ 7
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 9
设等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，若 $S_{19}>0, a_7+a_{14} < 0$ ，则当 $S_n$ 取得最大值时，$n=$
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ 9
$\text{C.}$ 10
$\text{D.}$ 11
在等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，已知 $a_1>0$ ，且 $S_8=S_{17}$ ，则当 $S_n$ 取最大值时，$n=()$
$\text{A.}$ 10
$\text{B.}$ 11
$\text{C.}$ 12 或 13
$\text{D.}$ 13
等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $d$ ，共前 $n$ 项和为 $S_n$ ，已知 $S_{16}>0, S_{17} < 0$ ，则下列结论不正确的是 ．
$\text{A.}$ $a_1>0, d < 0$
$\text{B.}$ $S_8$ 与 $S_9$ 均为 $S_n$ 的最大值
$\text{C.}$ $a_8+a_9>0$
$\text{D.}$ $a_9 < 0$
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 为正项等差数列，且其前 $n$ 项和为 $S_n$ ，若 $S_{2023}=2023$ ，则下列判断错误的是
$\text{A.}$ $a_{1012}=1$
$\text{B.}$ $a_{1013} \geq 1$
$\text{C.}$ $S_{2022}>2022$
$\text{D.}$ $S_{2024} \geq 2024$
已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，满足 $2 S_n=a_n\left(a_n+1\right)$ ，则 $a_{2023}=$
$\text{A.}$ 2022
$\text{B.}$ 2023
$\text{C.}$ 2024
$\text{D.}$ 2025
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_2+a_4+a_6=\pi$ ，则 $\cos \left(a_1+a_7\right)=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
记 $S_n$ 为等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_3=a_5, a_3-a_1=8$ ，则 $a_7=()$
$\text{A.}$ 30
$\text{B.}$ 28
$\text{C.}$ 26
$\text{D.}$ 13
多选题 （共 1 题 ），每题有多个选项正确
已知首项为 -1 的等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，公差为 $d$ ，且 $S_7>S_8, S_8 < S_9$ ，则（）
$\text{A.}$ $\frac{1}{8} < d < \frac{1}{7}$
$\text{B.}$ $S_{10}>S_5$
$\text{C.}$ $\left(S_n\right)_{\min }=S_8$
$\text{D.}$ $S_{15}>0$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $S_n$ 为等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{16}>0, a_7+a_9 < 0$ ，则当 $S_n$ 取最小值时，$n$ 的值为
解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知各项均为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $a_n, S_n, a_n^2$ 为等差数列．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $m$ 为正整数，记集合 $\left\{m \mid 2 a_n>m\right\}$ 的元素个数为 $\left\{b_n\right\}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 50 项和．
已知 $S_n$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 前 $n$ 项和，$S_n=\frac{1}{4} n^2+\frac{5}{4} n$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_n=2^{a_{2 n}}$ ，记 $T_n, T_n^{\prime}$ 分别为数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和与前 $n$ 项积，求 $T_n+T_n^{\prime}$
已知 $S_n$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和， $2 S_n=n a_n, a_2=3$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若 $b_n=\left|16-a_n\right|$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=\frac{n^2+n}{2}, n \in N^*$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_n=2^{a_n}+(-1)^n a_n$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $2 n$ 项和．
记 $S_n$ 为等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_1=-7, S_3=-15$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）求 $S_n$ ，并求 $S_n$ 的最小值．
已知 $\left\{a_n\right\}$ 是各项均为正数的数列，$S_n$ 为 $\left\{\sqrt{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，且 $\sqrt{a_n}, S_n, a_n-2$ 成等差数列．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）已知 $b_n=(-1)^n a_n$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, \frac{1}{2} S_n=a_n-2^{n-1}$ ．
（1）证明：$\left\{\frac{a_n}{2^{n-1}}\right\}$ 是等差数列；
（2）求数列 $\left\{\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项积．
已知各项均为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $2 \sqrt{S_n}=a_n+1$ ，其中 $S_n$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若对任意 $n \in \mathrm{~N}_{+}$，且当 $n \geq 2$ 时，总有 $\frac{1}{4 S_1}+\frac{1}{S_2-1}+\frac{1}{S_3-1}+\cdots+\frac{1}{S_n-1} < \lambda$ 恒成立，求实数 $\lambda$ 的取值范围．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_{n+1}+2 a_n a_{n+1}-a_n=0$ ．记 $b_n=\frac{1}{a_n}$ ．
（1）证明：数列 $\left\{b_n\right\}$ 为等差数列；
（2）设数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，求数列 $\left\{(-1)^n S_n\right\}$ 的前 20 项的和．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项 $a_1=1$ ，且满足 $3 a_{n+1}-a_n=2 \times 3^{-n}$ ．
（1）求证：数列 $\left\{3^n \cdot a_n\right\}$ 是等差数列；
（2）若数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_n=9^n \cdot a_n a_{n+1}$ ，求数列 $\left\{\frac{1}{b_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, \frac{a_n}{a_{n+1}}=1+2 a_n$ ．
（1）证明 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 为等差数列，并 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $c_n=4 n^2 a_n a_{n+1}$ ，求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n\left(S_n \neq 0\right)$ ，数列 $\left\{S_n\right\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_n$ ，且满足 $S_n+T_n=S_n \cdot T_n\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ ．
（1）求证：$\left\{\frac{1}{S_n-1}\right\}$ 为等差数列；
（2）记 $b_n=\frac{1}{n^2 S_n}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 2023 项的和 $M$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项的积记为 $T_n$ ，且满足 $\frac{1}{T_n}=\frac{a_n-1}{a_n}$
（1）证明：数列 $\left\{T_n\right\}$ 为等差数列；
（2）若 $b_n=\left\{\begin{array}{l}T_n, n \text { 为奇数，} \\ \frac{1}{T_{n-1} T_{n+1}}, n \text { 为偶数，求数列 }\left\{b_n\right\} \text { 的前 } 2 n \text { 项和 } T_{2 n} \text { ．}\end{array}\right.$
记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_1=5, n a_{n+1}=S_n-\frac{n(n+1)}{2}+1$ ．
（1）求 $\{a n\}$ 的通项公式；
（2）证明：$S_n \leq 20$ ．