单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $n$ 阶行列式 $D=\left|a_{i j}\right|_n, A_{i j}$ 是 $D$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则下列各式中正确的是（ ）．
$\text{A.}$ $\sum_{i=1}^n a_{i j} A_{i j}=0$ ；
$\text{B.}$ $\sum_{j=1}^n a_{i j} A_{i j}=0$ ；
$\text{C.}$ $\sum_{j=1}^n a_{i j} A_{i j}=D$ ；
$\text{D.}$ $\sum_{i=1}^n a_{i 1} A_{i 2}=D$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵 $Q$ ，使 $Q^{-1} \boldsymbol{A} Q=\boldsymbol{B}$ ，即 $\boldsymbol{A}$ 正交相似于 $\boldsymbol{B}$ 的充分必要条件为 。
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都有 $n$ 个线性无关的特征向量；
$\text{B.}$ $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=\mathrm{r}(\boldsymbol{B})$ ；
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 的主对角线上的元素的和相等；
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 有相同的特征值．
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系，则下列向量组中不再是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系的为（ ）。
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4 ;$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4, \boldsymbol{\alpha}_4-\boldsymbol{\alpha}_1$ ；
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4, \boldsymbol{\alpha}_4+\boldsymbol{\alpha}_1$ ；
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_4, \boldsymbol{\alpha}_4+\boldsymbol{\alpha}_1$ ．
设线性方程组 $\left\{\begin{array}{r}x_1+3 x_2+x_3=1, \\ x_1-5 x_2-x_3=b, \\ 2 x_1+2 x_2+x_3=2\end{array}\right.$ 有无穷多组解，则必有（ ）．
$\text{A.}$ $b=1$ ；
$\text{B.}$ $b=-1$ ；
$\text{C.}$ $b=2$ ；
$\text{D.}$ $b=-2$ ．
设向量组（I）是向量组（II）的线性无关的部分向量组，则（）。
$\text{A.}$ 向量组（I）是向量组（II）的极大线性无关组；
$\text{B.}$ 向量组（I）与向量组（II）的秩相等；
$\text{C.}$ 当向量组（I）可由向量组（II）线性表示时，向量组（I）与向量组（II）等价；
$\text{D.}$ 当向量组（II）可由向量组（I）线性表示时，向量组（I）与向量组（II）等价．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $-1,5, \lambda$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrr}3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 1\end{array}\right]$ 的特征值，则 $\lambda=$ $\_\_\_\_$ ， $\boldsymbol{A}$ 对应 3 个特征值的特征向量是 $\_\_\_\_$的，且是 $\_\_\_\_$的．
（选填：线性无关，线性相关；相互正交，相互不正交．）
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶可相似对角化的矩阵，且 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=r < n$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 必有特征值 $\lambda=$ $\_\_\_\_$ ，且其重数为 $\_\_\_\_$ ，其对应的线性无关的特征向量有 $\_\_\_\_$个
已知 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}=\left(\alpha_{i j}\right)_{n \times n}, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组，行列式 $|\boldsymbol{A}|=0$ ，伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^* \neq \mathbf{0}$ ，则齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解为
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $2 \times 3$ 非零矩阵，已知 $\boldsymbol{\xi}_1=\left[\begin{array}{r}-1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right], \boldsymbol{\xi}_2=\left[\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]$ 都是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解，则矩阵 $\boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$ （答案不唯一）。
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶可逆阵，且 $\boldsymbol{A}^2=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}$ ，则伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*=$ $\_\_\_\_$。
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
试求行列式 $|\boldsymbol{A}|,|\boldsymbol{B}|,|\boldsymbol{C}|$ ，其中 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 分别为 $n, m, n+m$ 阶方阵：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} & =\left[\begin{array}{cccc}
1+x & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1+x & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & 1 & \cdots & 1+x
\end{array}\right], \\
\boldsymbol{B} & =\left[\begin{array}{cccc}
0 & \cdots & 0 & 1 \\
0 & \cdots & 2 & 0 \\
\vdots & & \vdots & \vdots \\
m & \cdots & 0 & 0
\end{array}\right], \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{cc}
\mathbf{0} & \boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B} & \mathbf{0}
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$
已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+a x_2+x_3=3, \\ x_1+2 a x_2+x_3=4, \\ b x_1+x_2+x_3=4 .\end{array}\right.$
（1）试问：常数 $a, b$ 取何值时，方程组有无穷多解、有唯一解、无解？
（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解．
设四阶方阵 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{X}$ 满足方程 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X} \boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}^{-1}+3 \boldsymbol{E}$ ，已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵
$$
\boldsymbol{A}^*=\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -3 & 0 & 8
\end{array}\right],
$$
求矩阵 $\boldsymbol{X}$ ．
求正交变换 $\boldsymbol{x}=Q y$ ，用此正交变换将以下实二次型化为标准形：
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1 x_2+2 x_1 x_3+2 x_2 x_3 .
$$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $3 \times 4$ 矩阵， $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=2$ ，且已知非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的 3 个解为
$$
\boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{r}
1 \\
-1 \\
0 \\
2
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{r}
2 \\
1 \\
-1 \\
4
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{r}
4 \\
5 \\
-3 \\
11
\end{array}\right] .
$$
试求：（1）齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的通解；
（2）非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的通解．
已知线性空间 $\mathbb{R}^3$ 中的向量组
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{r}
1 \\
-2 \\
-2
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{r}
-1 \\
3 \\
0
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{r}
1 \\
0 \\
-6
\end{array}\right], \\
& \boldsymbol{\alpha}_4=\left[\begin{array}{r}
-3 \\
8 \\
2
\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_1=\left[\begin{array}{r}
0 \\
1 \\
-2
\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_2=\left[\begin{array}{r}
-2 \\
5 \\
-6
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$
（1）求由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 生成的子空间 $L\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right)$ 的维数与一个基；
（2）从 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 中选出属于 $L\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right)$ 的向量，并求出它们在题（1）中所选的基下的坐标．
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 实矩阵，证明：矩阵 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 是正定矩阵的充分必要条件为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=n$ ．
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_k(k \geqslant 2)$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，向量 $\boldsymbol{\beta}$ 满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta} \neq \mathbf{0}$ ．证明：向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\beta}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_k+\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\beta}$ 线性无关．