试题

已知线性空间 $\mathbb{R}^3$ 中的向量组

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{r}
1 \\
-2 \\
-2
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{r}
-1 \\
3 \\
0
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{r}
1 \\
0 \\
-6
\end{array}\right], \\
& \boldsymbol{\alpha}_4=\left[\begin{array}{r}
-3 \\
8 \\
2
\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_1=\left[\begin{array}{r}
0 \\
1 \\
-2
\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_2=\left[\begin{array}{r}
-2 \\
5 \\
-6
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$

（1）求由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 生成的子空间 $L\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right)$ 的维数与一个基；
（2）从 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 中选出属于 $L\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right)$ 的向量，并求出它们在题（1）中所选的基下的坐标．

答案