单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知复数 $z=-\frac{2+\mathrm{i}}{2 \mathrm{i}}$ ，则 $z$ 的实部是
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
设 $A=\left\{x \mid x^2-4 x-5=0\right\}, B=\{-1,1\}$ ，则 $A \cup B=$
$\text{A.}$ $\{-1\}$
$\text{B.}$ $\{-1,1,5\}$
$\text{C.}$ $\{1,5\}$
$\text{D.}$ $\{-1,5\}$
若直线 $x-2 a y-1=0$ 与直线 $(a+1) x+a y-1=0$ 平行，则 $a=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $-\frac{3}{2}$ 或 0
$\text{C.}$ $-\frac{3}{2}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2}$ 或 1
若 $\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{3}$ ，则 $\sin 2 \alpha=$
$\text{A.}$ $-\frac{7}{9}$
$\text{B.}$ $-\frac{5}{9}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{9}$
$\text{D.}$ $\frac{7}{9}$
已知非零向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\frac{3 \pi}{4},|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|$ 且 $\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{x} \boldsymbol{b}$ ，当 $|\boldsymbol{c}|$ 取最小值时，则实数 $x$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x^2, x \geqslant a \\ (2-a) x+1, x < a\end{array}\right.$ ，对于任意两不等实数 $x_1, x_2$ ，都有 $\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}>0$成立，则实数 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $[0,2)$
$\text{B.}$ $[1,2)$
$\text{C.}$ $[0,1]$
$\text{D.}$ $\left[\frac{1}{3}, 1\right]$
一封闭圆锥容器的轴截面是边长为 4 的等边三角形，一个半径为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 的小球在该容器内自由运动，如图所示，在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为
$\text{A.}$ $5 \pi$
$\text{B.}$ $\frac{7}{4} \pi$
$\text{C.}$ $\frac{9}{4} \pi$
$\text{D.}$ $6 \pi$
已知函数 $f(x)=x^2 \mathrm{e}^x$ ，若关于 $x$ 的方程 $2[f(x)]^2-(2 a+1) f(x)+a=0$ 有且仅有 4 个不同的实数根，则 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\{0\} \cup(e,+\infty)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{4}{\mathrm{e}^2}, \frac{2}{\mathrm{e}}\right)$
$\text{C.}$ $\left[0, \frac{4}{\mathrm{e}^2}\right]$
$\text{D.}$ $\{0\} \cup\left(\frac{4}{\mathrm{e}^2},+\infty\right)$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知函数 $f(x)=\ln |x-a|$ ，则
$\text{A.}$ $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$
$\text{B.}$ $f(x)$ 的值域为 $\mathbf{R}$
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上单调递增
$\text{D.}$ $f(x)$ 的图象关于直线 $x=a$ 对称
已知公差为 $d$ 的等差数列 $\left\{a_n\right\}, S_n$ 为其前 $n$ 项和，下列说法正确的是
$\text{A.}$ 若 $S_{15}=60$ ，则 $a_3+a_{13}=8$
$\text{B.}$ 若 $a_1=4, a_1, a_5, a_{13}$ 成等比数列，则 $d=1$
$\text{C.}$ 若 $a_3+a_{10}>0, S_{11} < 0$ ，数列 $\left\{S_n\right\}$ 中最小的项为 $S_6$
$\text{D.}$ 若 $a_1=8, a_4=-1$ ，则 $\left|a_1\right|+\left|a_2\right|+\cdots+\left|a_8\right|=32$
如图，在棱长为 1 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$E, F$ 分别是 $A B, A D$ 的中点，$M$ 为线段 $C_1 D_1$ 上的动点，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 三棱锥 $M-A_1 E F$ 的体积为定值
$\text{B.}$ 不存在点 $M$ ，使得 $E F \perp M E$
$\text{C.}$ 平面 $M E F$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值的最大值为 $2 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $\overrightarrow{D_1 M}=\frac{1}{2} \overrightarrow{D_1 C_1}$ 时，平面 $M E F$ 截该正方体的外接球所得截面的面积为 $3 \pi$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若平面向量 $\boldsymbol{m}=(-2,4), \boldsymbol{n}=(a, 2)$ ，若 $\boldsymbol{m} / /(\boldsymbol{m}+\boldsymbol{n})$ ，则实数 $a=$
已知实数 $a, b$ 满足 $a b>0$ ，则 $\frac{b}{a}+\frac{9 a}{a+b}$ 的最小值为
已知圆 $O: x^2+y^2=2$ ，以圆 $O$ 上任意一点 $E$ 为圆心，$\sqrt{2}$ 为半径的圆与圆 $C:(x+2)^2 +(y+1)^2=5$ 交于 $A, B$ 两点，则当 $\angle A C B$ 最大时，$\triangle A B C$ 的面积为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=\frac{1}{\mathrm{e}^x+1}-\frac{1}{2}$ ．
（1）判断 $f(x)$ 的奇偶性，并证明；
（2）若不等式 $f\left(k x^2\right)+f(k x-1) \geqslant 0$ 对一切 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)(\omega>0)$ 在 $\left(0, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上单调递增，在 $\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right]$ 上单调递减，设 $\left(x_0, 0\right)$ 为曲线 $y=f(x)$ 的对称中心．
（1）求 $x_0$ ；
（2）已知锐角 $\triangle A B C$ 中， $\cos A=\cos x_0$ ，求 $\cos B+\cos C$ 的取值范围．
如图，正三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的所有棱长都为 $2, D$ 为 $A_1 C_1$ 的中点，且 $\overrightarrow{B_1 E}=\lambda \overrightarrow{B_1 C}$ ，
（1）若 $\lambda=\frac{1}{2}$ ，求证：$D E / /$ 平面 $A_1 B C$ ；
（2）若直线 $D E$ 与平面 $A_1 B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ ，求实数 $\lambda$ 的值．
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $S_n=3 a_n-2$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式．
（2）已知 $b_n=\frac{a_n\left(-\frac{1}{2} n^2+2 n+1\right)}{\left(n^2+n\right)^2}$ ，且数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ．
（i）求 $T_n$ ；
（ii）若集合 $\left\{n \in \mathbf{N}^* \mid T_n>1-m\right\}$ 恰有一个元素，求 $m$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=\ln x+\frac{a(x-1)}{x+1}(a \in \mathbf{R})$ ．
（1）当 $a=0$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 经过原点的切线方程；
（2）当 $x>1$ 时，$f(x)>0$ ，求 $a$ 的取值范围；
（3）证明：对于任意的 $n \in \mathbf{N}^*, 2 \ln (n!)+2 n < (2 n+1) \ln (n+1)$ ．