已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)(\omega>0)$ 在 $\left(0, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上单调递增，在 $\left(\frac{2 \pi}{3}, \pi\right]$ 上单调递减，设 $\left(x_0, 0\right)$ 为曲线 $y=f(x)$ 的对称中心．
（1）求 $x_0$ ；
（2）已知锐角 $\triangle A B C$ 中， $\cos A=\cos x_0$ ，求 $\cos B+\cos C$ 的取值范围．