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已知函数 $f(x)=\ln x+\frac{a(x-1)}{x+1}(a \in \mathbf{R})$ ．
（1）当 $a=0$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 经过原点的切线方程；
（2）当 $x>1$ 时，$f(x)>0$ ，求 $a$ 的取值范围；
（3）证明：对于任意的 $n \in \mathbf{N}^*, 2 \ln (n!)+2 n < (2 n+1) \ln (n+1)$ ．
                        
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