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已知函数 $f(x)=\frac{1}{\mathrm{e}^x+1}-\frac{1}{2}$ ．
（1）判断 $f(x)$ 的奇偶性，并证明；
（2）若不等式 $f\left(k x^2\right)+f(k x-1) \geqslant 0$ 对一切 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．
                        
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