单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\left\{x \mid x^2-3 x-4 \leqslant 0\right\}, B=\{x \in \mathbf{Z}| | x-1 \mid \geqslant 2\}$ ，则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ $\{0,2,3,4\}$
$\text{B.}$ $\{-2,-1,3\}$
$\text{C.}$ $\{-1,3,4\}$
$\text{D.}$ $\{-1,0,3,4\}$
已知复数 $z=\frac{a+\mathrm{i}}{1-2 \mathrm{i}}$ 的实部与虚部相等，则实数 $a$ 的值为
$\text{A.}$ -3
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 1
记半径为 $R$ 的球体的表面积和体积分别为 $S_1$ 和 $V_1$ ，记某底面半径为 $R$ 的圆锥的表面积和体积分别为 $S_2$ 和 $V_2$ ，若 $S_1=S_2$ ，则 $\frac{V_1}{V_2}=$
$\text{A.}$ $\frac{4}{9}$
$\text{B.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{2}$
设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $a \cos B-b \cos A=\frac{3}{5} c$ ，则 $\frac{\tan A}{\tan B}=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
记等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，若 $2 S_9=S_3+S_6$ ，且 $\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_6}+\frac{1}{a_k}=0$ ，则正整数 $k$ 的值为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 9
$\text{D.}$ 12
连续抛掷一枚质地均匀的硬币 8 次，每次正面向上得 2 分，反面向上得 -1 分，记总得分为 $X$ ，则
$\text{A.}$ $E(X)=8$
$\text{B.}$ $E(X)=12$
$\text{C.}$ $D(X)=6$
$\text{D.}$ $D(X)=18$
若存在正实数 $a$ ，使得函数 $f(x)=\left|\frac{3 \mathrm{e}^x-1}{\mathrm{e}^x-1}\right|-b$ 是定义在 $(-\infty,-a) \cup(a,+\infty)$ 上的奇函数，则 $b=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知 $A, B$ 是双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左右顶点，$P_1, P_2, \cdots, P_n$ 是该双曲线上异于顶点的一系列不同点，记 $\angle A P_n B=\theta_n$ ，若 $\left\{\overrightarrow{P_n A} \cdot \overrightarrow{P_n B}\right\}$ 和 $\left\{\frac{1}{1-\cos 2 \theta_n}\right\}$ 都是等差数列且公差相等，则 $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
现有 10 个数据为： $3,3,3,3,4,4,4,5,5,6$ ，对于该组数据，下列说法中正确的有
$\text{A.}$ 众数是 4
$\text{B.}$ 平均数是 4
$\text{C.}$ 极差是 3
$\text{D.}$ 中位数是 4.5
如图，在正三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中，点 $P, Q, M, N$ 分别是 $A B_1, C C_1, A_1 C_1$ ， $B C$ 的中点，则下列说法中正确的有
$\text{A.}$ $P Q / /$ 平面 $A B C$
$\text{B.}$ $M N \perp B C$
$\text{C.}$ $P Q \perp$ 平面 $A B B_1 A_1$
$\text{D.}$ $P Q$ 与 $M N$ 相交
定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$ 满足当 $n-1 < x \leqslant n$ 时，$f(x)=(x-n+1)(x-n)^n$ ，其中 $n \in N^*$ ，则下列说法中正确的有
$\text{A.}$ $f(x) f(x+1) \leqslant 0$
$\text{B.}$ 当 $t>0$ 时，若 $f(x)$ 在区间 $(t, 2 t)$ 内恰有两个零点，则 $t$ 的取值范围是 $\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)$
$\text{C.}$ 存在正实数 $a$ 和 $x_0$ ，使得 $x>x_0$ 时，有 $f(x) < \mathrm{e}^{-a x}$
$\text{D.}$ 当 $2 \leqslant t < 5$ 时，若 $f(x)$ 在区间（ $2 t-4, t+1$ ）内恰有两个极值点，则 $t$ 的取值范围是 $\left[\frac{8}{3}, \frac{25}{8}\right) \cup\left(\frac{19}{6}, \frac{18}{5}\right)$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
平面向量 $a, b$ 满足：$|a|=1,|b|=2,(2 a+3 b) \cdot(a+b)=8$ ，则 $a$ 与 $b$ 的夹角的余弦值是
平行于 $x$ 轴的直线交抛物线 $C_1: y^2=2 x$ 于点 $P_1$ ，交抛物线 $C_2: y^2=8 x$ 于点 $P_2$ ，记抛物线 $C_1$和 $C_2$ 的焦点分别为 $F_1$ 和 $F_2$ ，若 $\left|P_1 F_1\right|=\left|P_2 F_2\right|$ ，则四边形 $F_1 F_2 P_1 P_2$ 的面积为
如图，已知 $\omega>0$ ，在函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ 的部分图象中，其图象上的点 $A, B, C$ 是同一直线上的三点，且该直线与 $x$ 轴交于点 $D$ ，若 $|A D|=|D B|=|B C|=1$ ，则 $\omega=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=6, a_3=20, a_4=30$ ，且 $\left\{a_{n+1}-a_n\right\}$ 是等差数列．
（1）求 $a_2$ ；
（2）证明：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n} < \frac{1}{2}$ ．
如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$P A=1, P B=2 \sqrt{3}, P C=3, A B=3, B C=\sqrt{6}$ ， $A C=\sqrt{7}$ ，点 $M, N$ 分别是棱 $P B, P C$ 上的点，且直线 $P A \perp$ 平面 $A M N$ ．
（1）求 $M N$ 的长；
（2）求三棱锥 $P-A B C$ 的体积；
（3）求直线 $B C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．
已知函数 $f(x)=\frac{x^2}{2}-a \ln x-(a-1) x-\frac{a}{2}$ ．
（1）当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（3）若 $f(x)$ 有极小值，且 $f(x) \geqslant 0$ ，求 $a$ 的取值范围．
曲线 $E: \frac{x^2}{t}+\frac{y^2}{1-t}=1(0 < t < 1)$ 与直线 $l: x+y=1$ 交于点 $A$ ，过点 $A$ 且与 $l$ 垂直的直线交曲线 $E$ 于另外的点 $B$ ，设线段 $A B$ 的中点为 $P$ ，定点 $Q$ 的坐标为 $\left(\frac{1}{8}, \frac{1}{8}\right)$ ．
（1）用 $t$ 表示点 $A$ 的坐标；
（2）证明：$|P A|+|P Q|$ 为定值；
（3）是否存在某条直线始终与以 $P Q$ 为直径的圆相切？若存在，求出该直线的方程，若不存在，请说明理由．
有 $n$ 张编号分别为 1 到 $n$ 的卡片，横向随机排列．对于这 $n$ 张卡片，初始状态下卡片标号从左到右为 $A_1, A_2, \cdots A_n$ ，记此时的卡片排列为 $\left(A_1, A_2, \cdots A_n\right)$ ．对这 $n$ 张卡片的排列进行如下三步操作： 1 ．取出最左边的卡片，记其标号为 $k ; 2$ ．剩余卡片中，标号小于 $k$ 的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为 $L_1, L_2, \cdots L_{k-1}$（若不存在则为空），标号大于 $k$ 的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为 $R_1, R_2, \cdots R_{n-k}$（若不存在则为空）； 3 ．对这 $n$ 张卡片重新排列，得到新排列：$\left(L_1, L_2, \cdots L_{k-1}, k, R_1, R_2, \cdots R_{n-k}\right)$ 。每进行完上述三步操作，称为一次＂完整操作＂．
（1）若初始排列为 $(3,5,2,4,1)$ ，写出连续经过两次完整操作后得到的新排列；
（2）求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到 $(1,2, \cdots, n)$ 的顺序排列的概率；
（3）记初始排列中有 $B_n$ 个排列种数能经过连续若干次完整操作后能得到 $(1,2, \cdots, n)$ 的顺序排列，当 $n \geqslant 2$ 时，证明：$B_{n+1} \leqslant n B_n+B_{n-1}$