如图，在三棱锥 $P-A B C$ 中，$P A=1, P B=2 \sqrt{3}, P C=3, A B=3, B C=\sqrt{6}$ ， $A C=\sqrt{7}$ ，点 $M, N$ 分别是棱 $P B, P C$ 上的点，且直线 $P A \perp$ 平面 $A M N$ ．
（1）求 $M N$ 的长；
（2）求三棱锥 $P-A B C$ 的体积；
（3）求直线 $B C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．
（1）求 $M N$ 的长；
（2）求三棱锥 $P-A B C$ 的体积；
（3）求直线 $B C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．