已知 $A, B$ 是双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左右顶点，$P_1, P_2, \cdots, P_n$ 是该双曲线上异于顶点的一系列不同点，记 $\angle A P_n B=\theta_n$ ，若 $\left\{\overrightarrow{P_n A} \cdot \overrightarrow{P_n B}\right\}$ 和 $\left\{\frac{1}{1-\cos 2 \theta_n}\right\}$ 都是等差数列且公差相等，则 $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=$