在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=6, a_3=20, a_4=30$ ，且 $\left\{a_{n+1}-a_n\right\}$ 是等差数列．
（1）求 $a_2$ ；
（2）证明：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n} < \frac{1}{2}$ ．
已知函数 $f(x)=\frac{x^2}{2}-a \ln x-(a-1) x-\frac{a}{2}$ ．
（1）当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（3）若 $f(x)$ 有极小值，且 $f(x) \geqslant 0$ ，求 $a$ 的取值范围．
曲线 $E: \frac{x^2}{t}+\frac{y^2}{1-t}=1(0 < t < 1)$ 与直线 $l: x+y=1$ 交于点 $A$ ，过点 $A$ 且与 $l$ 垂直的直线交曲线 $E$ 于另外的点 $B$ ，设线段 $A B$ 的中点为 $P$ ，定点 $Q$ 的坐标为 $\left(\frac{1}{8}, \frac{1}{8}\right)$ ．
（1）用 $t$ 表示点 $A$ 的坐标；
（2）证明：$|P A|+|P Q|$ 为定值；
（3）是否存在某条直线始终与以 $P Q$ 为直径的圆相切？若存在，求出该直线的方程，若不存在，请说明理由．
有 $n$ 张编号分别为 1 到 $n$ 的卡片，横向随机排列．对于这 $n$ 张卡片，初始状态下卡片标号从左到右为 $A_1, A_2, \cdots A_n$ ，记此时的卡片排列为 $\left(A_1, A_2, \cdots A_n\right)$ ．对这 $n$ 张卡片的排列进行如下三步操作： 1 ．取出最左边的卡片，记其标号为 $k ; 2$ ．剩余卡片中，标号小于 $k$ 的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为 $L_1, L_2, \cdots L_{k-1}$（若不存在则为空），标号大于 $k$ 的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为 $R_1, R_2, \cdots R_{n-k}$（若不存在则为空）； 3 ．对这 $n$ 张卡片重新排列，得到新排列：$\left(L_1, L_2, \cdots L_{k-1}, k, R_1, R_2, \cdots R_{n-k}\right)$ 。每进行完上述三步操作，称为一次＂完整操作＂．
（1）若初始排列为 $(3,5,2,4,1)$ ，写出连续经过两次完整操作后得到的新排列；
（2）求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到 $(1,2, \cdots, n)$ 的顺序排列的概率；
（3）记初始排列中有 $B_n$ 个排列种数能经过连续若干次完整操作后能得到 $(1,2, \cdots, n)$ 的顺序排列，当 $n \geqslant 2$ 时，证明：$B_{n+1} \leqslant n B_n+B_{n-1}$