曲线 $E: \frac{x^2}{t}+\frac{y^2}{1-t}=1(0 < t < 1)$ 与直线 $l: x+y=1$ 交于点 $A$ ，过点 $A$ 且与 $l$ 垂直的直线交曲线 $E$ 于另外的点 $B$ ，设线段 $A B$ 的中点为 $P$ ，定点 $Q$ 的坐标为 $\left(\frac{1}{8}, \frac{1}{8}\right)$ ．
（1）用 $t$ 表示点 $A$ 的坐标；
（2）证明：$|P A|+|P Q|$ 为定值；
（3）是否存在某条直线始终与以 $P Q$ 为直径的圆相切？若存在，求出该直线的方程，若不存在，请说明理由．