有 $n$ 张编号分别为 1 到 $n$ 的卡片，横向随机排列．对于这 $n$ 张卡片，初始状态下卡片标号从左到右为 $A_1, A_2, \cdots A_n$ ，记此时的卡片排列为 $\left(A_1, A_2, \cdots A_n\right)$ ．对这 $n$ 张卡片的排列进行如下三步操作： 1 ．取出最左边的卡片，记其标号为 $k ; 2$ ．剩余卡片中，标号小于 $k$ 的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为 $L_1, L_2, \cdots L_{k-1}$（若不存在则为空），标号大于 $k$ 的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为 $R_1, R_2, \cdots R_{n-k}$（若不存在则为空）； 3 ．对这 $n$ 张卡片重新排列，得到新排列：$\left(L_1, L_2, \cdots L_{k-1}, k, R_1, R_2, \cdots R_{n-k}\right)$ 。每进行完上述三步操作，称为一次＂完整操作＂．
（1）若初始排列为 $(3,5,2,4,1)$ ，写出连续经过两次完整操作后得到的新排列；
（2）求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到 $(1,2, \cdots, n)$ 的顺序排列的概率；
（3）记初始排列中有 $B_n$ 个排列种数能经过连续若干次完整操作后能得到 $(1,2, \cdots, n)$ 的顺序排列，当 $n \geqslant 2$ 时，证明：$B_{n+1} \leqslant n B_n+B_{n-1}$