单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\boldsymbol{A}$ 是四阶矩阵，且 $\boldsymbol{A}$ 的行列式 $|\boldsymbol{A}|=0$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 中（ ）．
$\text{A.}$ 必有一列元素全为零；
$\text{B.}$ 必有两列元素对应成比例；
$\text{C.}$ 必有一列向量是其余列向量的线性组合；
$\text{D.}$ 任一列向量是其余列向量的线性组合．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}, \boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵，则 $\left(\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}\right)^{-1}=$（ ）。
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}$ ；
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ ；
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1} \boldsymbol{B}$ ；
$\text{D.}$ $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}$ ．
已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵 $(n \geqslant 2)$ ，交换 $\boldsymbol{A}$ 的第 1,2 列得 $\boldsymbol{B}$ ，则（ ）。
$\text{A.}$ 交换伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*$ 的第 1,2 行得 $\boldsymbol{B}^*$ ；
$\text{B.}$ 交换伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*$ 的第 1,2 行得 $-\boldsymbol{B}^*$ ；
$\text{C.}$ 交换伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*$ 的第 1,2 列得 $\boldsymbol{B}^*$ ；
$\text{D.}$ 交换伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^*$ 的第 1,2 列得 $-\boldsymbol{B}^*$ ．
已知 $\boldsymbol{Q}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & \boldsymbol{t} \\ 3 & 6 & 9\end{array}\right], \boldsymbol{P}$ 为三阶非零矩阵，且满足 $\boldsymbol{P Q}=\mathbf{0}$ ，则 ．
$\text{A.}$ $t=6$ 时， $\boldsymbol{P}$ 的秩必为 1 ；
$\text{B.}$ $t=6$ 时， $\boldsymbol{P}$ 的秩必为 2；
$\text{C.}$ $t \neq 6$ 时， $\boldsymbol{P}$ 的秩必为 1 ；
$\text{D.}$ $t \neq 6$ 时， $\boldsymbol{P}$ 的秩必为 2 ．
已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为四阶方阵，$|\boldsymbol{A}|=-2,|\boldsymbol{B}|=-2$ ，则 $\left|\boldsymbol{A}^*(2 \boldsymbol{B})^{-1}\right|=($
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$ ；
$\text{B.}$ -1 ；
$\text{C.}$ 2 ；
$\text{D.}$ 8 ．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设四阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 的伴随矩阵为 $\boldsymbol{A}^*$ 和 $\boldsymbol{B}^*$ ，且它们的秩为 $\mathbf{r}(\boldsymbol{A})=2$ ， $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})=4$ ，则秩 $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{B}^*\right)=$
设 $n$ 阶向量 $\boldsymbol{\alpha}=(x, 0, \cdots, 0, x)^{\mathrm{T}}, x < 0$ ；矩阵 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ ，且 $|\boldsymbol{A}|=$ -3 ，则 $x=$
设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}, \boldsymbol{A}_{i j}$ 是 $|\boldsymbol{A}|$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，$a_{i j}=\boldsymbol{A}_{i j}, a_{11}=2 a_{12}= 3 a_{13}$ ，已知 $a_{11}>0$ ，则 $a_{11}=$
设向量 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,0)^{\mathrm{T}}$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_2=(1,0,1)^{\mathrm{T}}$ 都是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 对应特征值 $\lambda=2$的特征向量，且向量 $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha}_1+3 \boldsymbol{\alpha}_2$ ，则向量 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}$
已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $2 \times 3$ 矩阵， $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=2, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的解，且 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,2,1), \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2=(1,-1,1)$ ，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的通解为
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $n$ 阶行列式：
$$
D=\left|\begin{array}{ccccc}
1-x & 2 & \cdots & n-1 & n \\
1 & 2-x & \cdots & (n-1) & n \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
1 & 2 & \cdots & (n-1)-x & n \\
1 & 2 & \cdots & n-1 & n-x
\end{array}\right| .
$$
设 $A=\left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]$ ，矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}-9 \boldsymbol{E}$ ，试求矩阵 $\boldsymbol{B}$ ．
设四维行向量 $\boldsymbol{\alpha}=(1,1,1,1)$ ，四阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}$ ．求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$ 为对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$ ，并写出 $\boldsymbol{P}$ 和对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$ ．
求正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q y}$ ，将实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=17 x_1^2+14 x_2^2+14 x_3^2- 4 x_1 x_2-4 x_1 x_3-8 x_2 x_3$ 化为标准形，并写出正交矩阵 $Q$ 。
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 为 R 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基， $\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\beta}_2=2 \boldsymbol{\alpha}_1+ \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n=n \boldsymbol{\alpha}_{n-1}+\boldsymbol{\alpha}_n$ ．
（1）验证 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 也为 $V$ 的一组基，并写出 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 到 $\boldsymbol{\beta}_1$ ， $\boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 的过渡矩阵 $\boldsymbol{B}$ ；
（2）设 $\xi$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 下的坐标为 $(1,1, \cdots, 1)^{\mathrm{T}}$ ，求它在基 $\boldsymbol{\beta}_1$ ， $\boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 下的坐标．
设线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+x_2+x_3+x_4 & =1, \\
x_1+x_2+a x_3+x_4 & =1, \\
x_1+a x_2+x_3+x_4 & =1, \\
a x_1+x_2+x_3+x_4 & =b .
\end{aligned}\right.
$$
（1）$a, b$ 取何值时，线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？
（2）当线性方程组有无穷多解时，求出其通解．
证明任一 $n$ 阶矩阵可表为一个对称与一个反对称矩阵的和．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，且 $\boldsymbol{A}^2-8 \boldsymbol{A}+15 \boldsymbol{E}=0$ ，证明： $\boldsymbol{A}$ 为正定矩阵．