设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 为 R 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基， $\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\beta}_2=2 \boldsymbol{\alpha}_1+ \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n=n \boldsymbol{\alpha}_{n-1}+\boldsymbol{\alpha}_n$ ．
（1）验证 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 也为 $V$ 的一组基，并写出 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 到 $\boldsymbol{\beta}_1$ ， $\boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 的过渡矩阵 $\boldsymbol{B}$ ；
（2）设 $\xi$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 下的坐标为 $(1,1, \cdots, 1)^{\mathrm{T}}$ ，求它在基 $\boldsymbol{\beta}_1$ ， $\boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 下的坐标．