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微分方程较易

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 11 题），每题只有一个选项正确

1. 微分方程

x y^{'} - y \ln y = 0

的通解是

A.

y = e^{c x}

B.

y = c x

C.

y = e^{x} + c

D.

y = e^{x} + c x

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2. 设方程

\ln x = k x

只有两个正实根, 则

k

的取值范围为

A.

(- \infty, e)

B.

(0, \frac{1}{e})

C.

(\frac{1}{e}, + \infty)

D.

(\frac{1}{e}, 1)

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3. 微分方程

y^{''} - y^{'} + 2 y = x e^{2 x}

的特解

y^{*}

的形式可设为

A.

{axe}^{2 x}

B.

(a x + b) e^{2 x}

C.

(a x + b) x e^{2 x}

D.

a x^{2} e^{2 x}

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4. 已知

y = \frac{x}{\ln x}

是微分方程

y^{'} = \frac{y}{x} + φ (\frac{x}{y})

的解, 则

φ (\frac{x}{y})

的表达式为

A.

- \frac{y^{2}}{x^{2}}

B.

\frac{y^{2}}{x^{2}}

C.

- \frac{x^{2}}{y^{2}}

D.

\frac{x^{2}}{y^{2}}

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5. 微分方程

y^{''} + y = 0

的通解是

A.

y = C_{1} \cos x + C_{2} \sin x

B.

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x}

C.

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{x}

D.

y = C_{1} e^{x} + C_{2}

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6. 设

y = y (x)

满足条件

\begin{aligned} y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = 0, \\ y (0) = 2, y^{'} (0) = 0, \end{aligned}

则

\int_{0}^{+ \infty} y (x) d x =

A.

B.

-2

C.

D.

-1

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7. 常微分方程

\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x + y^{2}}

的类型属于

A.

可分离变量的微分方程

B.

齐次方程

C.

关于

y = y (x)

的一阶线性微分方程

D.

关于

x = x (y)

的一阶线性微分方程

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8. 微分方程

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \tan \frac{y}{x}

的通解是

A.

\frac{1}{\sin \frac{y}{x}} = c x

B.

\sin \frac{y}{x} = x + c

C.

\sin \frac{y}{x} = c x

D.

\sin \frac{x}{y} = c x

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9. 微分方程

y^{''} + 4 y = x \cos^{2} x

的特解形式为

A.

a x + b + (A x + B) \cos 2 x + (C x + D) \sin 2 x

B.

x (a x + b) + (A x + B) \cos 2 x + (C x + D) \sin 2 x

C.

a x + b + x (A \cos 2 x + B \sin 2 x)

D.

a x + b + x [(A x + B) \cos 2 x + (C x + D) \sin 2 x]

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10. 设函数

y = y (x)

是微分方程

y^{'''} - y^{''} - y^{'} + y = 0

的解, 在

x = 0

处

y (x)

取得极值 4 , 且

y^{''} (0) =

0 , 则

y (x) =

A.

(3 - 2 x^{2}) e^{x} + e^{- x}

B.

3 e^{x} + x e^{- x}

C.

(3 - 2 x) e^{x} + e^{- x}

D.

e^{x} + (3 - 2 x) e^{- x}

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11. 函数

y = \frac{x^{3}}{6} + C x

(

C

为任意常数) 是微分方程

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x

的

A.

通解

B.

特解

C.

不是解

D.

是解，但既非通解，又非特解

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

12. 微分方程

y^{'''} - 3 y^{'} + 2 y = 0

的通解为

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13. 微分方程

\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = - 1

的通解为

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14. 已知二阶常系数齐次线性微分方程的一个特解为

y = x e^{x}

, 则该方程为:

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15. 方程

3 x y y^{'} (x) + x^{2} + y^{2} = 0

的通解为

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16. 微分方程

x d y + 2 y d x = 0

, 满足

y_{∣ x = 2} = 1

的特解是 ________ .

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17. 微分方程

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - \frac{d y}{d x} - 6 y = 0

的通解是

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三、解答题（共 11 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

18. 求微分方䅣

y^{''} - 2 y^{'} = e^{2 x}

的通解.

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19. 求微分方程

x y^{'} + y - e^{x} = 0, y (2) = 1

的特解.

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20. 求微分方程

\tan x \frac{d y}{d x} - y = 5

的通解.

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21. 求微分方程

y^{''} - 4 y^{'} + 3 y = 10 \sin x

的通解.

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22. 求常微分方程

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = e^{x}

的通解

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23. 求微分方程

y^{''} - 5 y^{'} + 6 y = x e^{2 x}

的通解

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24. 解方程

y^{'} - \frac{2}{x} y = 2 x^{2}

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25. 求微分方程

x y^{'} + y - e^{x} = 0, y (2) = 1

的特解.

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26. 求微分方程

\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{6 x - y^{2}}

的通解.

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27. 求

\frac{d y}{d x} = 2 x y

的通解.

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28. 求

y^{''} - 2 y^{'} + 2 y = 0

的通解.

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